《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

1. (★) 在 $Rt\triangle ABC$ 中，若 $\angle C = 90^{\circ}$，$a = 1$，$c=\sqrt{3}$，则 $\tan A=$$\frac{\sqrt{2}}{2}$。

答案： 1.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

2. (★) 在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$BC = 1$，$AB = 2$，则下面结论正确的是【 】

A.$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\tan A=\frac{1}{2}$
C.$\cos B=\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\tan B=\sqrt{3}$

答案： 2.D

3. (★) 甲沿着有一定坡度的坡面从坡脚前进了 50 米，此时他与水平地面的垂直距离为 40 米，则这个坡面的坡度为$i = 4:3$。

答案： 3.$i = 4:3$

4. (★) 若某人沿坡度 $i = 3:4$ 的斜坡前进 10m，则他所在的位置比原来的位置升高了6m。

答案： 4.6

5. (★) 若 $|1 - \tan\alpha| + (\sin\beta - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 0$($\alpha$，$\beta$ 为锐角)，则 $\alpha=$$45^{\circ}$，$\beta=$$60^{\circ}$。

答案： 5.$45^{\circ}$ $60^{\circ}$

6. (★) 如图 1 - 4，当太阳光线与水平地面成 $30^{\circ}$ 角时，一棵树的影长为 12m，则该树高为【 】

A.$4\sqrt{3}m$
B.$6\sqrt{3}m$
C.$6\sqrt{2}m$
D.6m

答案： 6.A

7. (★★) (1) 计算：$|-\sqrt{2}| + (-2025)^0 - 2\sin 45^{\circ} - (\frac{1}{2})^{-1}$；
(2) 计算：$4\sin 60^{\circ} + (\frac{1}{3})^{-1} + | - 2| - \sqrt{12}$；
(3) 先化简，再求值：$(a - \frac{a - 2}{a^2 - 2a}) ÷ \frac{a - 1}{a}$，其中 $a = (\frac{1}{2})^{-1} + \tan 45^{\circ}$；
(4) 先化简，再求值：$(1 - \frac{x}{x + 1}) ÷ \frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1}$，其中 $x = 2\sin 45^{\circ} + 1$。

答案： 7.
(1)原式$=\sqrt{2}+1 - 2×\frac{\sqrt{2}}{2}-2$
$=\sqrt{2}+1-\sqrt{2}-2$
$=-1$.
(2)原式$=4×\frac{\sqrt{3}}{2}+3 + 2 - 2\sqrt{3}$
$=2\sqrt{3}+3 + 2 - 2\sqrt{3}$
$=5$.
(3)原式$=(a - \frac{1}{a})·\frac{a}{a - 1}$
$=\frac{(a + 1)(a - 1)}{a}·\frac{a}{a - 1}$
$=a + 1$.
当$a = 2 + 1 = 3$时,原式$=3 + 1 = 4$.
(4)原式$=\frac{1}{x + 1}·\frac{(x + 1)^{2}}{(x + 1)(x - 1)}$
$=\frac{1}{x - 1}$.
当$x = 2\sin45^{\circ}+1 = 2×\frac{\sqrt{2}}{2}+1=\sqrt{2}+1$时，
原式$=\frac{1}{x - 1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.