《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

15. (★★) (2023·天津) 如图 $1.3 - 8$，在边长为 $3$ 的正方形 $ABCD$ 的外侧作等腰三角形 $ADE$，$EA = ED=\dfrac{5}{2}$。
(1) $\triangle ADE$ 的面积为 3；
(2) 若 $F$ 为 $BE$ 的中点，连接 $AF$ 并延长，与 $CD$ 相交于点 $G$，则 $AG$ 的长为 $\sqrt{13}$。

答案： 15.
(1)3
(2)$\sqrt{13}$

16. (★★) 把图 $1.3 - 9$①中的长方形分割成 $A$、$B$ 两个小长方形，现将小长方形 $B$ 的一边与 $A$ 重合，另一边对齐恰好组成图 $1.3 - 9$②中的大正方形，空余部分 $C$ 是正方形。若未拼接前的长方形的周长为 $24$，求图 $1.3 - 9$②中大正方形的面积。

答案：
16. 如图.

设EF = a，GH = b，FG = c，
则$EG = EF + FG = a + c.$
$\because$ 未拼接前的长方形的周长为24，$\therefore 2(EG + GH) = 24$，$\therefore EG + GH = 12$，即$a + c + b = 12.$
由拼接的图形可知，$PQ = EF = a$，$PM = QN = SL = b$，$MS = NR = LR = c$，$\therefore SR = SL + LR = b + c.$
$\because$ 四边形PQRS为正方形，$\therefore PQ = SR$，即$a = b + c.$
将$a = b + c$代入$a + c + b = 12$，解得$a = 6$，
$\therefore$ 题图②中大正方形的面积为$6^2 = 36.$

1. (★) 对角线相等的菱形是正方形；对角线垂直的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形.

答案： 1. 相等 垂直 是直角

2. (★) 下列命题是真命题的有____. (填序号)
①有一个角是直角的四边形是矩形；②有一个角是直角的菱形是正方形；③两条对角线互相垂直的矩形是正方形；④四条边都相等的矩形是正方形.

答案： 2. ②③④

3. (★) 在四边形 $ABCD$ 中，$O$ 是对角线的交点，下列条件能判定四边形 $ABCD$ 是正方形的是【 】

A.$AC = BD$，$AB// CD$，$AB = CD$
B.$AD// BC$，$\angle A = \angle C$
C.$AO = BO = CO = DO$，$AC\perp BD$
D.$AO = CO$，$BO = DO$，$AB = BC$

答案： 3.C