《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

15. (★★)(2023·兰州)如图1.2-8，在矩形ABCD中，E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以点B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG. 若AB=4，CE=10，则AG等于【 】


A.2
B.2.5
C.3
D.3.5

答案： 15.C

16. (★★)如图1.2-9，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，求图中阴影部分的面积.

答案： 16.
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ DC = AB = 8cm,∠B = ∠C = 90°,AD = BC.又
∵ CE = 3cm,
∴ DE = 8 - 3 = 5(cm).又
∵ △AEF是由△AED沿直线AE折叠得到的,
∴ EF = DE = 5cm,AF = AD = BC,
∴ FC = $\sqrt{5^{2}-3^{2}}$ = 4(cm).设BF = xcm,则AF = AD = BC = (x + 4)cm.在Rt△ABF中,$x^{2}+8^{2}=(x + 4)^{2}$,解得x = 6,
∴ $S_{阴影}=\frac{1}{2} × 6 × 8 + \frac{1}{2} × 3 × 4 = 30(cm^{2})$.

17. (★★★)如图1.2-10，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为A(10,0)，C(0,4)，D是OA的中点，P为线段BC上的点. 小明同学写出了一个以OD为腰的等腰三角形ODP的顶点P的坐标(3,4)，请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标：(2,4)或(8,4).

答案：
17.(2,4)或(8,4) 【提示】
∵ A(10,0),C(0,4),
∴ OA = 10,OC = 4.
∵ D是OA的中点,
∴ OD = $\frac{1}{2}$OA = $\frac{1}{2}$×10 = 5.
过点P作PE⊥x轴于点E,则PE = OC = 4.
∵ P(3,4),
∴ OP = $\sqrt{3^{2}+4^{2}}$ = 5,
∴ 此时,OP = OD.

当PD = OD时,由勾股定理,得DE = $\sqrt{PD^{2}-PE^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}-4^{2}}$ = 3,
若点E在点D的左边,OE = 5 - 3 = 2,
此时,点P的坐标为(2,4);
若点E在点D的右边,则OE = 5 + 3 = 8,
此时,点P的坐标为(8,4).
综上所述,其余的点P的坐标为(2,4)或(8,4).

18. (★★)直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积为30cm².

答案： 18.30cm²

19. (★★)如图1.2-11，BD，CE为△ABC的两条高，M，N分别是BC，DE的中点，试说明MN与DE的位置关系.

答案： 19.连接EM,DM,
∵ BD,CE为△ABC的两条高,
∴ BD⊥AC,CE⊥AB,
∴ ∠BEC = ∠BDC = 90°.在Rt△BEC中,M为斜边BC的中点,
∴ EM = $\frac{1}{2}$BC.在Rt△BDC中,M为斜边BC的中点,
∴ DM = $\frac{1}{2}$BC.
∴ EM = DM.又
∵ N为DE的中点,
∴ MN⊥DE.