《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

15. (★★)如图 1 - 13，在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点，顺次连接点 E，F，G，H，得到的四边形 EFGH 叫中点四边形。

(1)求证：四边形 EFGH 是平行四边形。
(2)请你探究并填空：
当四边形 ABCD 变成平行四边形时，它的中点四边形是平行四边形；
当四边形 ABCD 变成矩形时，它的中点四边形是菱形；
当四边形 ABCD 变成菱形时，它的中点四边形是矩形；
当四边形 ABCD 变成正方形时，它的中点四边形是正方形。

答案： 15.
(1)连接AC,BD.
$\because$E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,
$\therefore EF// AC,GH// AC,EF=\frac{1}{2}AC,GH=\frac{1}{2}AC,$
$\therefore EF// GH,EF=GH,\therefore$四边形EFGH为平行四边形.
(2)平行四边形 菱形 矩形 正方形

16. （★★）（2023·广东）综合与实践.
主题：制作无盖正方体形纸盒.
素材：一张正方形纸板.
步骤 1：如图 1 - 14①，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤 2：如图 1 - 14②，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒.
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猜想与证明：
（1）直接写出纸板上∠ABC 与纸盒上∠A₁B₁C₁ 的大小关系；
（2）证明（1）中你发现的结论。

答案： 16.
(1)$\angle ABC=\angle A_{1}B_{1}C_{1}.$
(2)连接AC.$\because A_{1}B_{1}$为正方形的对角线,
$\therefore \angle A_{1}B_{1}C_{1}=45^{\circ}.$
设每个正方形方格的边长为1,则$AB= \sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10},AC=BC=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}.$
$\because AC^{2}+BC^{2}=AB^{2},\therefore$由勾股定理的逆定理,得$\triangle ABC$是等腰直角三角形,
$\therefore \angle ABC=45^{\circ},\therefore \angle ABC=\angle A_{1}B_{1}C_{1}.$

17. （★★）（2022·雅安）如图 1 - 15，E，F 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的两点，且 BE = DF。

（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若 AB = $3\sqrt{2}$，BE = 2，求四边形 AECF 的面积。

答案：
17.
(1)$\because$四边形ABCD为正方形,$\therefore CD=AB,\angle ABE=\angle CDF=45^{\circ}.$又

$\because BE=DF,\therefore \triangle ABE\cong\triangle CDF(SAS).$
(2)如图,连接AC,交BD于点O.$\because$四边形ABCD是正方形,$\therefore AC\perp BD,AO=CO,DO=BO.$
又$\because DF=BE,\therefore OE=OF,\therefore$四边形AECF是平行四边形.$\because AC\perp EF,\therefore$四边形AECF是菱形.$\because$在正方形ABCD中,$AB=3\sqrt{2},$
$\therefore AC=BD=6.\because BE=DF=2,\therefore EF=2,$
$\therefore$四边形AECF的面积为$\frac{1}{2}AC· EF=\frac{1}{2}×6×2=6.$