《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

15. (★★)如图 4.2-14，已知$AC// FE// BD$，求证：$\frac{AE}{AD}+\frac{BE}{BC}=1$。

答案： 15.

∵ AC∥FE

   
∴ \(\frac{CE}{BE} = \frac{AF}{BF}\)

   
∴ \(\frac{CE - BE}{BE} = \frac{AF - BF}{BF} = \frac{BC}{BE} \cdot \frac{AB}{AB}\)

   
∴ \(\frac{BE}{BC} \cdot \frac{BF}{AF} = 1\)  ①

   
∵ FE∥BD

   
∴ \(\frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AF}\)  ②

    由①、②得：\(\frac{BE}{BC} \cdot \frac{AE}{BD} = \frac{AF}{AD} \cdot \frac{AB}{AB} - \frac{AB}{AB} \cdot \frac{1}{AB}\)

    即 \(\frac{AD}{BC} = \frac{BE}{AD}\)

16. (★★★)如图 4.2-15，$\angle ACB = 90^{\circ}$，以$AC$为边向外作正方形$ACDE$，$BE$交$AC$于点$F$，$FP// BC$交$AB$于点$P$，求证：$FC = FP$。

答案： 16.
∵$ BC//FP,BC//AE,\therefore FP//AE,\therefore \frac{FP}{AE}=\frac{BF}{BE},\therefore \frac{FP}{BF}=\frac{BF}{BE}· AE.\because BC//AE,\therefore \frac{FC}{AF}=\frac{BF}{FE},\therefore \frac{FC}{AF+FC}=\frac{BF}{BF+FE},$即$\frac{FC}{AC}=\frac{BF}{BE},\therefore FC=\frac{BF}{BE}· AC.$又$\because AE=AC,\therefore FC=FP.$

17. (★★)如图 4.2-16，在$\triangle ABC$中，点$D$在$BC$边上，连接$AD$，点$E$在$AC$边上，过点$E$作$EF// BC$，交$AD$于点$F$，过点$E$作$EG// AB$，交$BC$于点$G$，则下列式子一定正确的是【 】


A.$\frac{AE}{EC}=\frac{EF}{CD}$
B.$\frac{EF}{CD}=\frac{EG}{AB}$
C.$\frac{AF}{FD}=\frac{BG}{GC}$
D.$\frac{CG}{BC}=\frac{AF}{AD}$

答案： 17.C

18. (★★)(2024·长春)如图 4.2-17，在△ABC中，O是边AB的中点。按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线OG，交AC于点M。下列结论不一定成立的是【 】


A.$\angle AOM=\angle B$
B.$\angle OMC+\angle C = 180^{\circ}$
C.$AM = CM$
D.$OM=\frac{1}{2}AB$

答案： 18.D