《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

14. (★★★) 如图 1.3 - 18①，在正方形 $ABCD$ 中，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别为边 $AB$，$BC$，$CD$，$DA$ 上的点，且 $HA = EB = FC = GD$，连接 $EG$，$FH$，交点为 $O$.
(1) 如图 1.3 - 18②，连接 $EF$，$FG$，$GH$，$HE$，试判断四边形 $EFGH$ 的形状，并证明你的结论.
(2) 将正方形 $ABCD$ 沿线段 $EG$，$HF$ 剪开，再把得到的四边形按图 1.3 - 18③的方式拼成一个四边形. 若正方形 $ABCD$ 的边长为 $3cm$，$HA = EB = FC = GD = 1cm$，求其中阴影部分的面积.

答案： 14.
(1)四边形EFGH是正方形.证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA.
∵HA=EB=FC=GD,
∴AE=BF=CG=DH,
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,
∴HE=EF=FG=GH,
∴四边形EFGH是菱形.由△DHG≌△AEH,得∠DHG=∠AEH.
∵∠AEH+∠AHE=90°,
∴∠DHG+∠AHE=90°.
∴∠GHE=90°.
∴菱形EFGH是正方形.
(2)1cm².

15. (★★) 菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”.
(1) 如图 1.3 - 19①，设菱形相邻两个内角的度数分别为 $m^{\circ}$，$n^{\circ}$，若我们将菱形的“接近度”定义为 $|m - n|$，于是 $|m - n|$ 越小，菱形就越接近正方形.
①当菱形的一个内角为 $75^{\circ}$ 时，“接近度”=30；
②当菱形的“接近度”=0时，菱形就是正方形.
(2) 若我们将菱形的“接近度”定义为 $\frac{m}{n}(m\leqslant n)$，则：
①当菱形的一个内角为 $45^{\circ}$ 时，“接近度”=\frac{1}{3}；
②当菱形的“接近度”=1时，菱形就是正方形.
(3) 小军同学仿照菱形的“接近度”的定义，给出了如下矩形的“接近度”的定义：
如图 1.3 - 19②，设矩形相邻两条边长分别是 $a$ 和 $b(a\leqslant b)$，将矩形的“接近度”定义为 $\frac{a}{b}$，于是 $\frac{a}{b}$ 越小，矩形越接近正方形.
你认为他的定义不合理(填“合理”或“不合理”).

答案： $15.(1)①30 ②0 (2)①\frac{1}{3}②1 (3)$不合理【提示$】\frac{a}{b}$越接近1,矩形越接近正方形.