《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

13. (★★)用配方法解方程$2x^{2}+bx + a = 0$，解得$x-\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{15}}{2}$，请求出$a$和$b$的值.

答案： 13.整理，得$x^{2}+\frac{b}{2}x+(\frac{b}{4})^{2}=-\frac{a}{2}+(\frac{b}{4})^{2}$,配方，得$(x+\frac{b}{4})^{2}=-\frac{a}{2}+\frac{b^{2}}{16}$,$\therefore$ $x+\frac{b}{4}=\pm\sqrt{-\frac{a}{2}+\frac{b^{2}}{16}}$. $\because$ $x-\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{15}}{2}$,$\therefore$ $\frac{b}{4}=-\frac{3}{2}$,$-\frac{a}{2}+\frac{b^{2}}{16}=\frac{15}{4}$,解得$a=-3$,$b=-6$.

14. (★★)某村种的水稻2022年平均每公顷产$8000kg$，2024年平均每公顷产$9680kg$，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率.
解题方案：
设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为$x$.
(1)用含$x$的代数式表示：
①2023年种的水稻平均每公顷的产量为$8000(1+x)$；
②2024年种的水稻平均每公顷的产量为$8000(1+x)^{2}$.
(2)根据题意，列出相应方程：____.
(3)解这个方程，得$x_1=0.1$,$x_2=-2.1$.
(4)检验：$x_1=0.1$,$x_2=-2.1$都是原方程的根,但$x_2=-2.1$不符合题意,所以只取$x=0.1$.
(5)答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为10$\%$.

答案： 14.
(1) ①$8000(1+x)$ ②$8000(1+x)^{2}$；
(2) $8000(1+x)^{2}=9680$；
(3) $x_1=0.1$,$x_2=-2.1$；
(4) $x_1=0.1$,$x_2=-2.1$都是原方程的根,但$x_2=-2.1$不符合题意,所以只取$x=0.1$；
(5) 10

15. (★★)先仔细阅读材料，再尝试解决问题.
探究多项式$2x^{2}+4x - 5$的最小值时，我们可以这样处理：
解：原式$=2(x^{2}+2x)-5 = 2(x^{2}+2x + 1^{2}-1^{2})-5 = 2[(x + 1)^{2}-1^{2}]-5 = 2(x + 1)^{2}-2 - 5 = 2(x + 1)^{2}-7$.
因为$(x + 1)^{2}\geq0$，所以$2(x + 1)^{2}-7\geq0 - 7$，即$2(x + 1)^{2}-7\geq - 7$，所以$2(x + 1)^{2}-7$的最小值是$-7$，即$2x^{2}+4x - 5$的最小值是$-7$.
请根据上面的探究思路，解答下列问题：
(1)多项式$5(x - 3)^{2}+1$的最小值是1；
(2)求多项式$4x^{2}-16x + 3$的最小值；
(3)求多项式$x^{2}+6x + y^{2}-4y + 20$的最小值.

答案： 15.
(1) 1 【提示】$\because$ $(x-3)^{2}\geq0$,$\therefore$ $5(x-3)^{2}+1\geq1$,$\therefore$ 多项式$5(x-3)^{2}+1$的最小值是1.
(2) $4x^{2}-16x+3$$=4(x^{2}-4x)+3$$=4(x^{2}-4x+2^{2}-2^{2})+3$$=4[(x-2)^{2}-4]+3$$=4(x-2)^{2}-16+3$$=4(x-2)^{2}-13$.$\because$ $(x-2)^{2}\geq0$,$\therefore$ $4(x-2)^{2}-13\geq-13$,$\therefore$ 多项式$4x^{2}-16x+3$的最小值为$-13$.
(3) $x^{2}+6x+y^{2}-4y+20$$=x^{2}+6x+9+y^{2}-4y+4+7$$=(x+3)^{2}+(y-2)^{2}+7$.$\because$ $(x+3)^{2}\geq0$,$(y-2)^{2}\geq0$,$\therefore$ $(x+3)^{2}+(y-2)^{2}+7\geq7$,$\therefore$ 多项式$x^{2}+6x+y^{2}-4y+20$的最小值为7.