《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

11. (★★) 若 $ m,n $ 是方程 $ x^{2}+x - 1 = 0 $ 的两个实数根，则 $ m^{2}+2m + n $ 的值为0.

答案： 11 0

12. (★★) 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-3x + m = 0 $ 有两个根，其中一个根是另一个根的 $ 2 $ 倍，求 $ m $ 的值及方程的两个根.

答案： 12 m=2,方程的两根为$x_{1}=1,x_{2}=2.$

13. (★★) 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}-(3a + 1)x + 2a + 1 = 0 $.
(1) 求证：无论 $ a $ 为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
(2) 若该方程的两个实数根分别为 $ x_{1},x_{2} $，且 $ x_{2}-x_{1} = 2 $，求 $ a $ 的值.

答案： 13
(1)
∵ 一元二次方程$ax^{2}-(3a+1)x+2a+1=0，$
$Δ=(3a+1)^{2}-4a(2a+1)，$
$=a^{2}+2a+1$
$=(a+1)^{2}≥0，$
∴ 无论a为任何非零实数，此方程总有两个实数根.
(2)依题意，得$x_{1}+x_{2}=\frac{3a+1}{a},x_{1}x_{2}=\frac{2a+1}{a}.$
∵$ x_{2}-x_{1}=2,$
∴$ (x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=4，$
∴$ (\frac{3a+1}{a})^{2}-\frac{4(2a+1)}{a}=4,$即$3a^{2}-2a-1=0，$
(3a+1)(a-1)=0，
解得$a_{1}=1,a_{2}=-\frac{1}{3},$
∴ a的值为1或$-\frac{1}{3}$

14. (★★) 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+(m + 3)x + m + 1 = 0 $.
(1) 求证：无论 $ m $ 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若 $ x_{1},x_{2} $ 是原方程的两个根，且 $ |x_{1}-x_{2}| = 2\sqrt{2} $，求 $ m $ 的值和此时方程的两个根.

答案： 14
(1)由关于x的一元二次方程$x^{2}+(m+3)x+m+1=0,$得$(m+3)^{2}-4(m+1)=(m+1)^{2}+4.$
∵ 无论m取何值，$(m+1)^{2}+4$恒大于0，
∴ 原方程总有两个不相等的实数根.
(2)
∵$ x_{1},x_{2}$是原方程的两个根，
∴$ x_{1}+x_{2}=-(m+3),x_{1}x_{2}=m+1.$
∵ |$x_{1}-x_{2}$|$=2\sqrt{2},$
∴$ (x_{1}-x_{2})^{2}=8，$
即$(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=8.$
∴$ [-(m+3)]^{2}-4(m+1)=8，$
即$m^{2}+2m-3=0，$
解得$m_{1}=-3,m_{2}=1.$
当m=-3时，原方程化为$x^{2}-2=0，$
解得$x_{1}=\sqrt{2},x_{2}=-\sqrt{2}.$
当m=1时，原方程化为$x^{2}+4x+2=0，$
解得$x_{1}=-2+\sqrt{2},x_{2}=-2-\sqrt{2}.$

15. (★★) (2022·泸州) 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-(2m - 1)x + m^{2} = 0 $ 的两实数根为 $ x_{1},x_{2} $，若 $ (x_{1}+1)(x_{2}+1) = 3 $，则 $ m $ 的值为 【 】

A.$ -3 $
B.$ -1 $
C.$ -3 $ 或 $ 1 $
D.$ -1 $ 或 $ 3 $

答案： 15 A

16. (★★) (2022·随州) 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+(2k + 1)x + k^{2}+1 = 0 $ 有两个不等实数根 $ x_{1},x_{2} $.
(1) 求 $ k $ 的取值范围；
(2) 若 $ x_{1}x_{2} = 5 $，求 $ k $ 的值.

答案： 16
∵ 关于x的一元二次方程$x^{2}+(2k+1)x+k^{2}+1=0$有两个不等实数根，
∴ 此方程根的判别式$Δ=(2k+1)^{2}-4(k^{2}+1)＞0.$解得$k＞\frac{3}{4}.$
∴ k的取值范围为$k＞\frac{3}{4}$
(2)由题意，得$x_{1}x_{2}=k^{2}+1=5,$解得$k_{1}=-2,k_{2}=2.$
由
(1)知，$k＞\frac{3}{4},$故k的值为2.