《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

16. （★★）图$1.4 - 2$是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高$BC$是$10$米，坡面$10$米处有一建筑物$HQ$，为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面$DC$的倾斜角$\angle BDC = 30^{\circ}$，若新坡面下$D$处与建筑物之间需留下至少$3$米宽的人行道，问：该建筑物是否需要拆除？（计算最后结果保留一位小数。参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$）

答案： 16. 由题意，得 $AH = 10$ 米，$BC = 10$ 米.
在 $Rt \triangle ABC$ 中，$\angle CAB = 45°$，
∴ $AB = BC = 10$.
在 $Rt \triangle BDC$ 中，$\angle BDC = 30°$，
∴ $DB = \frac{BC}{\tan \angle BDC} = 10\sqrt{3}$，
∴ $DH = AH - AD = AH - (DB - AB) = 10 - (10\sqrt{3} - 10) = 20 - 10\sqrt{3} \approx 2.7$ (米).
∵ $2.7$ 米 ＜ 3 米，
∴ 该建筑物需要拆除.

17. （★★）如图$1.4 - 3$，在正方形$ABCD$中，$E$为$BC$上一点，将正方形折叠，$MN$垂直平分$AE$，垂足为$G$，$MN$分别交$CD$，$AB$于点$M$，$N$，若$\tan\angle AEN=\frac{1}{3}$，$DC + CE = 10$。
（1）求$\triangle ANE$的面积；
（2）求$\sin\angle ENB$的值。

答案： 17.
(1)
∵ $MN$ 垂直平分 $AE$，
∴ $AN = NE$，
∴ $\angle AEN = \angle EAN$，
∴ $\tan \angle AEN = \tan \angle EAN = \frac{1}{3}$
设 $BE = a$，$AB = 3a$，则 $CE = 2a$.
∵ $DC + CE = 10$，
∴ $3a + 2a = 10$，
∴ $a = 2$，
∴ $BE = 2$，$AB = 6$，$CE = 4$.
∵ $AE = \sqrt{BE^2 + AB^2} = \sqrt{4 + 36} = 2\sqrt{10}$，
∴ $AG = \sqrt{10}$.
又
∵ $\frac{NG}{AG} = \frac{1}{3}$，
∴ $NG = \frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴ $AN = \sqrt{(\sqrt{10})^2 + (\frac{\sqrt{10}}{3})^2} = \frac{10}{3}$，
∴ $S_{\triangle ANE} = \frac{1}{2} AN · BE = \frac{1}{2} × \frac{10}{3} × 2 = \frac{10}{3}$.
(2) 由
(1)知，$NE = AN = \frac{10}{3}$. 在 $Rt \triangle BEN$ 中，
$\sin \angle ENB = \frac{EB}{NE} = \frac{2}{\frac{10}{3}} = \frac{3}{5}$.