《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

18. (★★) 如图1.1 - 10，在边长为a的菱形ABCD中，∠DAB = 60°，E是AD上异于A，D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE + CF = a。
(1) 求证：△BDE≌△BCF；
(2) 求证：不论E，F怎样移动，△BEF总是等边三角形。

答案： 18.
(1)
∵AE+CF=a，AE+DE=a，
∴DE=CF.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，CB=AB.又
∵∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠EDB=60°且DB=AB，
∴DB=CB.又
∵∠FCB=∠DAB=60°，
∴∠EDB=∠FCB，
∴△BDE≌△BCF.
(2)由
(1)得，BE=BF，∠DBE=∠CBF，
∴∠DBE+∠DBF=∠CBF+∠DBF，即∠EBF=∠DBC.又
∵∠DBC=∠ADB =60°，
∴∠EBF=60°，
∴△BEF总是等边三角形.

19. (★★) (2022·淄博) 如图1.1 - 11，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F。若∠DEF = ∠DFE，则这个菱形的面积为【 】

A.16
B.6√7
C.12√7
D.30

答案：
19.B [提示]如图，连接AC交BD于点O.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD//BC，CB=CD=AD=4，AC⊥BD，OB=OD，OC=OA.
∵E为AD边的中点，
∴DE=2.
∵∠DEF=∠DFE，
∴DF=DE=2.
∵DE//BC，
∴∠DEF=∠BCF.
∵∠DFE=∠BFC，
∴∠BCF=∠BFC，
∴BF=BC=4，
∴BD=BF+DF=4+2=6，
∴OB=OD=3.
在Rt△BOC中，OC=$\sqrt{BC^{2}-OB^{2}}$=$\sqrt{4^{2}-3^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴AC=2OC=2$\sqrt{7}$，
∴菱形ABCD的面积为$\frac{1}{2}$AC·BD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{7}$×6=6$\sqrt{7}$.
　　　　　

20. (★★) 菱形的面积为10cm²，其中一个角为30°，则它的周长为8$\sqrt{5}$cm。

答案： 20.8$\sqrt{5}$cm

21. (★★) (2023·长春) 将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面内按如图1.1 - 12所示位置摆放，点A，E，B，D依次在同一条直线上，连接AF，CD。
(1) 求证：四边形AFDC是平行四边形；
(2) 已知BC = 6cm，当四边形AFDC是菱形时，AD的长为18cm。

答案：
21.
(1)
∵△ACB≌△DFE，
∴AC=DF，∠CAB=∠FDE，
∴AC//DF，
∴四边形AFDC是平行四边形.
(2)18 [提示]如图，连接CF交AD于点O.
∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=6cm，
　　　　　　　　　　
∴AB=12cm，
∴AC=$\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$=6$\sqrt{3}$(cm).
∵四边形AFDC是菱形，
∴CF⊥AD，AD =2AO，
∴∠AOC=90°，
∴OC=$\frac{1}{2}$AC，
∴AO=$\sqrt{AC^{2}-OC^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×6$\sqrt{3}$=9(cm)，
∴AD=2AO=18cm.