《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

3. (★)如图1.1-12，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为【 】

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.1

答案： 3.C

4. (★★)在△ABC中，∠C=90°，sinA=$\frac{3}{5}$，则cosA的值是【 】

A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$

答案： 4.A

5. (★)如图1.1-13，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=5，AC=4，则sin B等于【 】

A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$

答案： 5.B

6. (★)如图1.1-14，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于【 】

A.$\sqrt{5}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 6.C

7. (★)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A和∠C的对边分别为a，c，已知∠A和直角边a，求斜边c，则下列计算正确的是【 】

A.$c = a\sin A$
B.$c = \frac{a}{\sin A}$
C.$c = a\cos A$
D.$c = \frac{a}{\cos A}$

答案： 7.B

8. (★★)如图1.1-15，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=2$\sqrt{2}$，AB=2$\sqrt{3}$，设∠BCD=α，那么cosα的值是【 】

A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{6}}{3}$

答案： 8.D

9. (★★)我们把$(\sin\alpha)^2$记作$\sin^2\alpha$，根据图1.1-16完成下列各题。
(1) 如图1.1-16①②③，$\sin^2A_1+\cos^2A_1=$1，$\sin^2A_2+\cos^2A_2=$1，$\sin^2A_3+\cos^2A_3=$1；
(2) 观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，若∠C=90°，则总有$\sin^2A+\cos^2A=$1；
(3) 如图1.1-16④，在Rt△ABC中证明第(2)题中的猜想；
(4) 已知在△ABC中，∠A+∠B=90°，且$\sin A=\frac{12}{13}$，则cosA的值为$\frac{5}{13}$。

答案： 9.
(1)1 1 1 【提示】$\sin^{2}A_{1}+\cos^{2}A_{1}=(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$，$\sin^{2}A_{2}+\cos^{2}A_{2}=(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}+(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$，$\sin^{2}A_{3}+\cos^{2}A_{3}=(\frac{3}{5})^{2}+(\frac{4}{5})^{2}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$。
(2)1
(3)
∵ $\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，且$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，
∴ $\sin^{2}A+\cos^{2}A=(\frac{a}{c})^{2}+(\frac{b}{c})^{2}=\frac{a^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}=\frac{c^{2}}{c^{2}}=1$，即$\sin^{2}A+\cos^{2}A=1$。
(4)$\frac{5}{13}$ 【提示】
∵ 在$\triangle ABC$中，∠A + ∠B =$90^{\circ}$，
∴ ∠C =$90^{\circ}$。
∵ $\sin^{2}A+\cos^{2}A=1$，即$(\frac{12}{13})^{2}+\cos^{2}A=1$，解得$\cos A=\frac{5}{13}$或$\cos A=-\frac{5}{13}$(舍去)，
∴ $\cos A=\frac{5}{13}$。