《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

15. (★★)如图1.1-22，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，$\sin∠BOA=\frac{3}{5}$。
(1) 求点B的坐标。
(2) 求cos∠BAO的值。

答案：
15.
(1)如图所示，作$BH\perp OA$，垂足为H，在$Rt\triangle OHB$中，
∵ $BO = 5$，$\sin\angle BOA=\frac{3}{5}$，
∴ $BH = 3$，
∴ $OH = 4$，
∴ B点坐标为$(4,3)$。

(2)
∵ $OA = 10$，$OH = 4$，
∴ $AH = 6$。
在$Rt\triangle AHB$中，
∵ $BH = 3$，
∴ $AB=\sqrt{BH^{2}+AH^{2}}=\sqrt{3^{2}+6^{2}}=3\sqrt{5}$，
∴ $\cos\angle BAO=\frac{AH}{AB}=\frac{6}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

16. (★★★)阅读下面材料，并完成以下问题。
爱思考的小航同学在学习完三角函数的定义之后，发现直角三角形的三角函数值之间存在某种特殊的关系。
如图1.1-23，在Rt△ABC中，
(1) $\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{a}{c}$，$\cos B=\frac{∠B的邻边}{斜边}=\frac{a}{c}$。
由此可知，$\sin A$和$\cos B$的关系是 ① 。
(2) $\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{c}·\frac{c}{b}=\frac{a}{b}$，$\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{a}{b}$。
由此可知，$\sin A$，$\cos A$，$\tan A$之间的关系是 ② 。
(3) $\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{a}{b}$，$\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{b}{a}$。
由此可知，$\tan A$和$\tan B$的关系是 ③ 。
问题1 根据材料，完成材料中的空白部分。
问题2 根据问题1中的结论，完成以下任务：
(1) 已知∠A+∠B=90°，$\sin A=\frac{1}{3}$，则$\cos B$的值为$\frac{1}{3}$。
(2) 已知∠A为锐角，$\tan A=4$，求$\frac{5\cos A+2\sin A}{3\cos A+\sin A}$的值。
(3) 求$\tan1°·\tan2°·\tan3°··s·\tan45°·\tan46°··s·\tan88°·\tan89°$的值。

答案： 16.问题1 ①$\sin A=\cos B$ ②$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$ ③$\tan A·\tan B=1$
问题2
(1)$\frac{1}{3}$
(2)$\frac{5\cos A+2\sin A}{3\cos A+\sin A}=\frac{5+2\tan A}{3+\tan A}=\frac{5+2×4}{3+4}=\frac{13}{7}$。
(3)$\tan1^{\circ}·\tan2^{\circ}·\tan3^{\circ}·s\tan45^{\circ}·\tan46^{\circ}·s\tan88^{\circ}·\tan89^{\circ}=\tan1^{\circ}·\tan2^{\circ}·\tan3^{\circ}·s\tan45^{\circ}·\frac{1}{\tan44^{\circ}}·s\frac{1}{\tan2^{\circ}}·\frac{1}{\tan1^{\circ}}=1$。