《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

16. (★★)如图1.2-34，在$ △ABC $中，O是AC边上的一个动点，过点O作直线$ MN // BC $，设MN交$ ∠BCA $的平分线于点E，交$ ∠BCA $的邻补角的平分线于点F。
(1)求证：$ EO = FO $。
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请证明你的结论。

答案：
16.
(1)如图,
∵ CE平分∠BCA,
∴ ∠1=∠2.
又
∵ MN//BC,

∴ ∠1=∠3,
∴ ∠3=∠2,
∴ EO=CO.
同理FO=CO.
∴ EO=FO.
(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
理由如下:
∵ EO=FO,O是AC的中点,
∴ 四边形AECF是平行四边形.
又
∵ ∠1=∠2,∠4=∠5,
∴ ∠2+∠4=$\frac{1}{2}×180°=90°$,即∠ECF=90°.
∴ 四边形AECF是矩形.

17. (★★)如图1.2-35，在四边形ABCD中，$ ∠ABC = 90^{\circ} $，$ CD ⊥ AD $，$ AD^{2} + CD^{2} = 2AB^{2} $。
(1)求证：$ AB = BC $；
(2)当$ BE ⊥ AD $于E时，试证明：$ BE = AE + CD $。

答案：
17.
(1)如图,连接AC,

∵ ∠ABC=90°,
∴ $AB^2+BC^2=AC^2$.
∵ CD⊥AD,
∴ $AD^2+CD^2=AC^2$.
又
∵ $AD^2+CD^2=2AB^2$,
∴ $AB^2+BC^2=2AB^2$.
∴ AB=BC.
(2)如图,过点C作CF⊥BE于点F,
∵ BE⊥AD,CD⊥AD,
∴ 四边形CDEF是矩形.
∵ ∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,
∴ ∠BAE=∠CBF.
又
∵ AB=BC,
∴ △BAE≌△CBF.
∴ AE=BF.
∴ BE=BF+EF=AE+CD.

18. (★★)(2023·河南)在矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且$ AN = AB = 1 $。当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为2或$1+\sqrt{2}$。

答案： 18. 2或$1+\sqrt{2}$

19. (★★)(2022·云南)如图1.2-36，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，$ ∠BDF = 90^{\circ} $。
(1)求证：四边形ABDF是矩形；
(2)若$ AD = 5 $，$ DF = 3 $，求四边形ABCF的面积S。

答案： 19.
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ BA//CD,
∴ ∠BAE=∠FDE.
∵ E为线段AD的中点,
∴ AE=DE. 在△BEA和△FED中,
$\begin{cases}∠BAE=∠FDE,\\AE=DE,\\∠BEA=∠FED,\end{cases}$
∴ △BEA≌△FED(ASA),
∴ EF=EB.又
∵ AE=DE,
∴ 四边形ABDF是平行四边形.
∵ ∠BDF=90°,
∴ 四边形ABDF是矩形.
(2)由
(1)知,四边形ABDF是矩形,
∴ ∠AFD=90°,AB=DF=3,AF=BD,
∴ $AF=\sqrt{AD^2-DF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,
∴ $S_{矩形ABDF}=DF·AF=3×4=12$,BD=AF=4.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ CD=AB=3,
∴ $S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}BD·CD=\frac{1}{2}×4×3=6$,
∴ 四边形ABCF的面积S=$S_{矩形ABDF}+S_{\triangle BCD}=12+6=18$,即四边形ABCF的面积S为18.