《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

25. (★★★)(2023·菏泽)(1) 如图 4 - 18①，在矩形 $ ABCD $ 中，点 $ E $，$ F $ 分别在边 $ DC $，$ BC $ 上，$ AE \perp DF $，垂足为 $ G $。求证：$ \triangle ADE \sim \triangle DCF $。
【问题解决】
(2) 如图 4 - 18②，在正方形 $ ABCD $ 中，点 $ E $，$ F $ 分别在边 $ DC $，$ BC $ 上，$ AE = DF $，延长 $ BC $ 到点 $ H $，使 $ CH = DE $，连接 $ DH $。求证：$ \angle ADF = \angle H $。
【类比迁移】
(3) 如图 4 - 18③，在菱形 $ ABCD $ 中，点 $ E $，$ F $ 分别在边 $ DC $，$ BC $ 上，$ AE = DF = 11 $，$ DE = 8 $，$ \angle AED = 60^{\circ} $，求 $ CF $ 的长。

答案：
25.
(1) $\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore\angle C = \angle ADE = 90^{\circ}$，$\therefore\angle CDF + \angle DFC = 90^{\circ}$。
$\because AE\perp DF$，$\therefore\angle DGE = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle CDF + \angle AED = 90^{\circ}$，$\therefore\angle AED = \angle DFC$，$\therefore\triangle ADE\sim\triangle DCF$。
(2) $\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AD = DC$，$AD// BC$，$\angle ADE = \angle DCF = 90^{\circ}$。
$\because AE = DF$，$\therefore Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle DCF(HL)$，
$\therefore DE = CF$。
$\because CH = DE$，$\therefore CF = CH$。
$\because$点$H$在$BC$的延长线上，$\therefore\angle DCH = \angle DCF = 90^{\circ}$。
又$\because DC = DC$，$\therefore\triangle DCF\cong\triangle DCH(SAS)$，
$\therefore\angle DFC = \angle H$。
$\because AD// BC$，$\therefore\angle ADF = \angle DFC$，$\therefore\angle ADF = \angle H$。
(3) 如图，延长$BC$至点$G$，使$CG = DE = 8$，连接$DG$。

$\because$四边形$ABCD$是菱形，$\therefore AD = DC$，$AD// BC$，$\therefore\angle ADE = \angle DCG$，
$\therefore\triangle ADE\cong\triangle DCG(SAS)$，$\therefore\angle DGC = \angle AED = 60^{\circ}$，$AE = DG$。
$\because AE = DF$，$\therefore DG = DF$，$\therefore\triangle DFG$是等边三角形，$\therefore FG = DF = 11$。
$\because CF + CG = FG$，$\therefore CF = FG - CG = 11 - 8 = 3$，即$CF$的长为$3$。