《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

17. ($★★$)如图$6 - 11$，$A$，$B$是反比例函数$y = \dfrac{4}{x}(x ＞ 0)$图象上的任意两点，分别过$A$，$B$作$x$轴的垂线，垂足分别为$C$，$D$，连接$OA$，$OB$，$AB$，$AC$交$OB$于点$E$.
(1)试比较$S_{\triangle AOE}$与$S_{梯形BECD}$的大小关系；
(2)若点$A$的横坐标是$m$，点$B$的横坐标是$2m(m ＞ 0)$，试求$S_{\triangle AOB}$.

答案： 17.
(1)
∵点$A$，$B$都在反比例函数$y = \frac{x}{4}$的图象上，
∴$S_{\triangle AOC} = S_{\triangle BOD} = 2$，
∴$S_{\triangle AOC} - S_{\triangle EOC} = S_{\triangle BOD} - S_{\triangle EOC}$，
∴$S_{\triangle AOE} = S_{梯形BECD}$。
(2)
∵点$A$，$B$都在反比例函数$y = \frac{x}{4}$的图象上，
∴$A$点坐标为$(m,\frac{4}{m})$，$B$点坐标为$(2m,\frac{2}{m})$。
由
(1)可知$S_{\triangle AOE} + S_{\triangle AEB} = S_{四边形BECD} + S_{\triangle AEB}$，
即$S_{\triangle AOB} = S_{梯形ACDB}$。
∵$S_{梯形ACDB}=\frac{1}{2}(\frac{4}{m}+\frac{2}{m})· m = 3$，
∴$S_{\triangle AOB} = 3$。

18. (★★)某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表所示：
(1)观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数关系式.

(2)若该商场计划该品牌运动鞋每天的销售利润为3000元，则其单价应定为多少元？

答案： 18.
(1)由表中数据，得$xy = 6000$，所以$y = \frac{6000}{x}$，所以$y$是$x$的反比例函数，故所求函数关系式为$y = \frac{6000}{x}$。
(2)由题意，得$(x - 120)y = 3000$，把$y = \frac{6000}{x}$代入，得$(x - 120)·\frac{6000}{x} = 3000$，解得$x = 240$。经检验，$x = 240$是原方程的根。所以若该商场计划该品牌运动鞋每天的销售利润为$3000$元，则其单价应定为$240$元。

19. ($★★$)已知正比例函数$y_{1} = ax(a\neq 0)$与反比例函数$y_{2} = \dfrac{k}{x}(k\neq 0)$的图象在第一象限内交于点$A(2,1)$.
(1)求$a$，$k$的值；
(2)在如图$6 - 12$所示的直角坐标系中画出这两个函数的大致图象，并根据图象直接回答$y_{1} ＞ y_{2}$时$x$的取值范围.

答案：
19.
(1)将$A(2,1)$代入正比例函数解析式，得$1 = 2a$，
∴$a = \frac{1}{2}$，
∴$y_1 = \frac{1}{2}x$。
将$A(2,1)$代入双曲线解析式，得$1 = \frac{k}{2}$，
∴$k = 2$，
∴$y_2 = \frac{2}{x}$。
故$a = \frac{1}{2}$，$k = 2$。
(2)如图，由图象可得当$y_1＞y_2$时，$-2＜x＜0$或$x＞2$。