《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

20. ($★★★$)如图$6 - 13$，在直角梯形$OABC$中，$BC// AO$，$\angle AOC = 90^{\circ}$，点$A$，$B$的坐标分别为$(5,0)$，$(2,6)$，点$D$为$AB$边上一点，且$BD = 2AD$.双曲线$y = \dfrac{k}{x}(x ＞ 0)$经过点$D$，交$BC$于点$E$.
(1)求双曲线的解析式；
(2)求四边形$ODBE$的面积.

答案： 20.
(1)过点$B$，$D$作$x$轴的垂线，垂足分别为点$M$，$N$。
∵$A(5,0)$，$B(2,6)$，
∴$OM = BC = 2$，$BM = OC = 6$，$AM = 3$。
∵$DN// BM$，
∴$\triangle ADN\sim\triangle ABM$，
∴$\frac{DN}{BM}=\frac{AN}{AM}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，
∴$DN = 2$，$AN = 1$，
∴$ON = 4$，
∴点$D$的坐标为$(4,2)$。
又
∵双曲线$y = \frac{k}{x}(x＞0)$经过点$D$，
∴$2 = \frac{k}{4}$，即$k = 8$，
∴双曲线的解析式为$y = \frac{8}{x}$。
(2)
∵点$E$在$BC$上，
∴点$E$的纵坐标为$6$。
又
∵点$E$在双曲线$y = \frac{8}{x}$上，
∴点$E$的坐标为$(\frac{4}{3},6)$，
∴$CE = \frac{4}{3}$，
∴$S_{四边形ODBE}=S_{梯形OABC}-S_{\triangle OCE}-S_{\triangle AOD}$
$=\frac{1}{2}×(BC + OA)× OC - \frac{1}{2}× OC× CE - \frac{1}{2}× OA× DN$
$=\frac{1}{2}×(2 + 5)×6 - \frac{1}{2}×6×\frac{4}{3} - \frac{1}{2}×5×2$
$= 12$。
∴四边形$ODBE$的面积为$12$。

21. ($★★$)($2022$·十堰)如图$6 - 14$，正方形$ABCD$的顶点分别在反比例函数$y = \dfrac{k_{1}}{x}(k_{1} ＞ 0)$和$y = \dfrac{k_{2}}{x}(k_{2} ＞ 0)$的图象上.若$BD// y$轴，点$D$的横坐标为$3$，则$k_{1} + k_{2}$等于【 】

A.$36$
B.$18$
C.$12$
D.$9$

答案：
21. B【提示】如图，连接$AC$交$BD$于点$E$，延长$BD$交$x$轴于点$F$，连接$OD$，$OB$。

∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AE = BE = CE = DE$；设$AE = BE = CE = DE = m$，点$D$的坐标为$(3,a)$，
∵$BD// y$轴，
∴点$B$的坐标为$(3,a + 2m)$，点$A$的坐标为$(3 + m,a + m)$。
∵点$A$，$B$都在反比例函数$y = \frac{k_1}{x}(k_1＞0)$的图象上，
∴$k_1 = 3(a + 2m) = (3 + m)(a + m)$。
∵$m\neq0$，
∴$m = 3 - a$，
∴点$B$的坐标为$(3,6 - a)$。
∵$B(3,6 - a)$在反比例函数$y = \frac{k_1}{x}(k_1＞0)$的图象上，$D(3,a)$在$y = \frac{k_2}{x}(k_2＞0)$的图象上，
∴$k_1 = 3(6 - a) = 18 - 3a$，$k_2 = 3a$，
∴$k_1 + k_2 = 18 - 3a + 3a = 18$。

22. ($★★★$)($2022$·达州)如图$6 - 15$，一次函数$y = x + 1$与反比例函数$y = \dfrac{k}{x}$的图象相交于$A(m,2)$，$B$两点，分别连接$OA$，$OB$.
(1)求这个反比例函数的表达式.
(2)求$\triangle AOB$的面积.
(3)在平面内是否存在一点$P$，使以点$O$，$B$，$A$，$P$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
22.
(1)
∵一次函数$y = x + 1$经过点$A(m,2)$，
∴$m + 1 = 2$，
∴$m = 1$，
∴点$A$的坐标为$(1,2)$。
∵反比例函数$y = \frac{k}{x}$经过点$(1,2)$，
∴$k = 2$，
∴反比例函数的表达式为$y = \frac{2}{x}$。
(2)由题意，得$\begin{cases}y = x + 1\\y = \frac{2}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = -2\\y = -1\end{cases}$或$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$
∴点$B$的坐标为$(-2,-1)$。
∵直线$AB$与$y$轴交于点$C$，
∴点$C$的坐标为$(0,1)$，
∴$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}×1×1+\frac{1}{2}×1×2 = 1.5$。
(3)满足条件的点$P$的坐标为$(-3,-3)$或$(-1,1)$或$(3,3)$。【提示】有三种情形，如图所示。