《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

11. (★)已知 $ \frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} \neq 0 $，则 $ \frac{a + b}{c} $ 的值为【 】

A.$ \frac{4}{5} $
B.$ \frac{5}{4} $
C.$ 2 $
D.$ \frac{1}{2} $

答案： 11. B

12. (★★)如图 4 - 6，已知在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = 1 $，在 $ BC $ 上取一点 $ E $，沿 $ AE $ 将 $ \triangle ABE $ 向上折叠，使 $ B $ 点落在 $ AD $ 上的 $ F $ 点，若四边形 $ EFDC $ 与矩形 $ ABCD $ 相似，则 $ AD $ 等于【 】

A.$ \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $
B.$ \frac{\sqrt{5} + 1}{2} $
C.$ \sqrt{3} $
D.$ 2 $

答案： 12. B

13. (★★)已知 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle ADE $ 都是等腰直角三角形，$ \angle BAC = \angle ADE = 90^{\circ} $，如图 4 - 7 所示放置，边 $ AE $，$ AD $ 分别与 $ BC $ 交于点 $ M $，$ N $，则图中一定相似的三角形有【 】

A.$ 2 $ 对
B.$ 3 $ 对
C.$ 4 $ 对
D.$ 5 $ 对

答案： 13. C

14. (★)如图 4 - 8，在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，$ AC = 6 $，$ BC = 12 $，点 $ D $ 在边 $ BC $ 上，点 $ E $ 在线段 $ AD $ 上，$ EF \perp AC $ 于点 $ F $，$ EG \perp EF $ 交 $ AB $ 于点 $ G $，若 $ EF = EG $，则 $ CD $ 的长为【 】

A.$ 3.6 $
B.$ 4 $
C.$ 4.8 $
D.$ 5 $

答案： 14. B

15. (★★)如图 4 - 9，若 $ A $，$ B $，$ C $，$ P $，$ Q $ 和甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使 $ \triangle ABC \sim \triangle PQR $，则点 $ R $ 应是甲、乙、丙、丁四点中的【 】

A.甲
B.乙
C.丙
D.丁

答案： 15. C

16. (★★★)如图 4 - 10，已知 $ AD // BC $，$ AB \perp BC $，$ AB = 3 $。$ E $ 为射线 $ BC $ 上一个动点，连接 $ AE $，将 $ \triangle ABE $ 沿 $ AE $ 折叠，点 $ B $ 落在点 $ B' $ 处，过点 $ B' $ 作 $ AD $ 的垂线，分别交 $ AD $，$ BC $ 于点 $ M $，$ N $。当点 $ B' $ 为线段 $ MN $ 的三等分点时，$ BE $ 的长为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$或$\frac{3\sqrt{5}}{5}$。

答案： 16. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$或$\frac{3\sqrt{5}}{5}$

17. (★★★)如图 4 - 11①，一副直角三角板满足 $ AB = BC $，$ AC = DE $，$ \angle ABC = \angle DEF = 90^{\circ} $，$ \angle EDF = 30^{\circ} $。将三角板 $ DEF $ 的直角顶点放置于三角板 $ ABC $ 的斜边 $ AC $ 上，再将三角板 $ DEF $ 绕点 $ E $ 旋转，并使边 $ DE $ 与边 $ AB $ 交于点 $ P $，边 $ EF $ 与边 $ BC $ 交于点 $ Q $。
(1) 在旋转过程中，如图 4 - 11②，当 $ \frac{CE}{EA} = 1 $ 时，$ EP $ 与 $ EQ $ 满足的数量关系为$EP = EQ$。
(2) 在旋转过程中，如图 4 - 11③，当 $ \frac{CE}{EA} = 2 $ 时，$ EP $ 与 $ EQ $ 满足怎样的数量关系？请说明理由。
(3) 根据以上的探究结果，试写出 $ \frac{CE}{EA} = m $ 时，$ EP $ 与 $ EQ $ 满足的数量关系是什么？并说明理由。

答案：
17.
(1) $EP = EQ$【提示】如图②，连接$BE$，根据$E$是$AC$的中点和等腰直角三角形的性质，得$BE = CE$，$\angle PBE = \angle C = 45^{\circ}$。
$\because\angle BEC = \angle FED = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle BEP = \angle CEQ$。
在$\triangle BEP$和$\triangle CEQ$中，
$\begin{cases} \angle BEP = \angle CEQ,\\ BE = CE,\\ \angle PBE = \angle C, \end{cases}$
$\therefore\triangle BEP\cong\triangle CEQ(ASA)$，
$\therefore EP = EQ$。
(2) 如图③，$EP:EQ = 1:2$，
理由如下：作$EM\perp AB$于点$M$，$EN\perp BC$于点$N$，$\therefore\angle EMP = \angle ENC$。
$\because\angle MEP + \angle PEN = \angle PEN + \angle NEF = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle MEP = \angle NEF$，
$\therefore\triangle MEP\sim\triangle NEQ$，
$\therefore EP:EQ = EM:EN = AE:CE = 1:2$。
(3) 如图③，$\because$在四边形$PEQB$中，$\angle B =$
　　
$\angle PEQ = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle EPB + \angle EQB = 180^{\circ}$。
又$\because\angle EPB + \angle MPE = 180^{\circ}$，
$\therefore\angle MPE = \angle EQB$，
$\therefore Rt\triangle MEP\sim Rt\triangle NEQ$，
$\therefore\frac{EP}{EQ}=\frac{ME}{EN}$
又$\because Rt\triangle AME\sim Rt\triangle ENC$，
$\therefore\frac{CE}{EA}=m=\frac{EN}{ME}$
$\therefore\frac{EP}{EQ}=\frac{AE}{CE}=\frac{1}{m}$，
$\therefore EP$与$EQ$满足的数量关系是$\frac{EP}{EQ}=\frac{1}{m}$，即$EQ = mEP$。