《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

13. (★★)解下列方程：
(1)$(2x - 1)^2 = 9$；
(2)$x^2 - 5x + 2 = 0$.

答案： 13.
(1)两边开平方，得$2x - 1 = \pm3$，
$\therefore 2x - 1 = 3$或$2x - 1 = -3$，
解得$x_{1} = 2$，$x_{2} = -1$.
(2)移项，得$x^{2} - 5x = -2$，
配方，得$x^{2} - 5x + (\frac{5}{2})^{2} = -2 + (\frac{5}{2})^{2}$，
即$(x - \frac{5}{2})^{2} = \frac{17}{4}$，解得$x - \frac{5}{2} = \pm\sqrt{\frac{17}{4}}$，
即$x_{1} = \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$，$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}$.

14. (★★)已知$x^2 + y^2 - 6x + 4y + 13 = 0$，则$(x + y)^{2025}$等于【 】

A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$3$

答案： 14.C【提示】$\because x^{2} + y^{2} - 6x + 4y + 13 = 0$，
$\therefore x^{2} - 6x + 9 + y^{2} + 4y + 4 = 0$，
$\therefore (x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 0$，$\therefore x - 3 = 0$，$y + 2 = 0$，
$\therefore x = 3$，$y = -2$，$\therefore (x + y)^{2025} = 1$.

15. (★★)若$(a^2 + b^2 - 3)^2 = 25$，则$a^2 + b^2$的值为8.

答案： 15.8

16. (★★)用配方法证明，多项式$2x^4 - 4x^2 - 1$的值总大于$x^4 - 2x^2 - 4$的值.

答案： 16.根据题意，得
$(2x^{4} - 4x^{2} - 1) - (x^{4} - 2x^{2} - 4)$
$= 2x^{4} - 4x^{2} - 1 - x^{4} + 2x^{2} + 4$
$= x^{4} - 2x^{2} + 3$
$= x^{4} - 2x^{2} + 1 - 1 + 3$
$= (x^{2} - 1)^{2} + 2 \geqslant 2 ＞ 0$，
$\therefore$多项式$2x^{4} - 4x^{2} - 1$的值总大于$x^{4} - 2x^{2} - 4$的值.

17. (★★)把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“$a^2 \geq 0$”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法.配方法在今后的学习中有着广泛的应用.
例如：求$a^2 + 4a + 5$的最小值.
解：$a^2 + 4a + 5 = a^2 + 4a + 2^2 - 2^2 + 5 = (a + 2)^2 + 1$.
∵ $(a + 2)^2 \geq 0$，
∴ $(a + 2)^2 + 1 \geq 1$，
∴ 当$(a + 2)^2 = 0$，即$a = -2$时，$a^2 + 4a + 5$有最小值，最小值为1.
(1)当$x$为何值时，代数式$x^2 - 6x + 7$有最小值？最小值为多少？
(2)图2.2 - 1①是一组邻边长分别为7，$2a + 5$的矩形，其面积为$S_1$；图2.2 - 1②是边长为$a + 6$的正方形，面积为$S_2$，$a ＞ 0$.请比较$S_1$与$S_2$的大小，并说明理由.
(3)如图2.2 - 1③，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度为52m的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形场地$ABCD$，且$CD$边上留两个1m宽的小门，设$BC$的长为$x$m.当$x$为何值时，矩形场地$ABCD$的面积最大？最大值是多少？

答案： 17.
(1)由题意，得$x^{2} - 6x + 7 = x^{2} - 6x + 9 + 7 - 9 = (x - 3)^{2} - 2$.
$\because (x - 3)^{2} \geqslant 0$，$\therefore (x - 3)^{2} - 2 \geqslant -2$，
$\therefore$当$x = 3$时，$x^{2} - 6x + 7$有最小值，最小值为$-2$.
(2)$S_{2} \geqslant S_{1}$.
理由如下：$S_{1} = 7(2a + 5) = 14a + 35$，$S_{2} = (a + 6)^{2} = a^{2} + 12a + 36$.
$S_{2} - S_{1} = (a^{2} + 12a + 36) - (14a + 35) = a^{2} + 12a + 36 - 14a - 35 = a^{2} - 2a + 1 = (a - 1)^{2}$.
当$a = 1$时，$(a - 1)^{2} = 0$，此时$S_{2} = S_{1}$；
当$a \neq 1$时，$(a - 1)^{2} ＞ 0$，此时$S_{2} ＞ S_{1}$.
综上所述，$S_{2} \geqslant S_{1}$.
(3)设$BC$的长为$xm$，四边形$ABCD$的面积为$Sm^{2}$，则$CD = 52 - 3x + 2 = (54 - 3x)m$，
$\therefore S = x(54 - 3x) = -3x^{2} + 54x = -3(x^{2} - 18x + 81 - 81) = -3(x - 9)^{2} + 243$，
$\therefore$当$x = 9$时，$S$有最大值$243$，
$\therefore$当$x$为$9$时，矩形场地$ABCD$的面积最大，最大值为$243m^{2}$.