《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

10. （★★）四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，能判定它是矩形的条件是【 】

A.$AO = CO$，$BO = DO$
B.$AB = BC$，$AO = CO$
C.$AO = CO$，$BO = DO$，$AC\perp BD$
D.$AO = CO = BO = DO$

答案： 10. D

11. （★★）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的 4 位同学拟定的方案，其中正确的是【 】

A.测量对角线是否相互平分
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量一组对角是否都为直角
D.测量其中的三个角是否都为直角

答案： 11. D

12. （★★）四边形 $ABCD$ 的对角线相交于点 $O$，下列条件不能判定它是矩形的是【 】

A.$AB = CD$，$AD = BC$，$\angle BAD = 90^{\circ}$
B.$AO = CO$，$BO = DO$，$AC = BD$
C.$\angle BAD = \angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle BCD + \angle ADC = 180^{\circ}$
D.$\angle BAD = \angle BCD$，$\angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ}$

答案： 12. C

13. (★★)在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 互相平分，交点为 $O$，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形 $ABCD$ 成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是AC=BD(答案不唯一)。

答案： 13. AC=BD(答案不唯一)

14. （★★）已知 $M$ 是矩形 $ABCD$ 中 $AD$ 边的中点，$P$ 为 $BC$ 上一点，$PE\perp MC$ 于点 $E$，$PF\perp MB$ 于点 $F$，当 $AB$ 和 $BC$ 满足条件______时，四边形 $PEMF$ 为矩形。

答案： 14. AB=$\frac{1}{2}$BC(或BC=2AB)

15. （★★）如图 1.2 - 17，以 $□ ABCD$ 的对角线 $AC$ 为斜边作 $Rt\triangle AMC$，且 $\angle BMD$ 为直角。求证：四边形 $ABCD$ 是矩形。

答案： 15. 连接OM,
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ OA=OC.
∵ ∠AMC=90°,
∴ OM=$\frac{1}{2}$AC.同理OM=$\frac{1}{2}$BD.
∴ AC=BD,
∴ 四边形ABCD是矩形.

16. （★★）如图 1.2 - 18，在等边 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 边的中点，$F$ 是 $AB$ 边的中点，以 $AD$ 为边作等边 $\triangle ADE$，连接 $CE$，$CF$。求证：四边形 $AFCE$ 是矩形。

答案： 16. 在等边△ABC中，
∵ D是BC边的中点，
∴ ∠DAC=30°.又
∵ △ADE是等边三角形，∠DAE=60°,
∴ ∠CAE=30°.
∴ ∠EAF=60°+30°=90°.在等边△ABC中,
∵ F是AB边的中点,D是BC边的中点，
∴ CF=AD,∠CFB=90°.
∴ ∠CFB=∠EAF.
∴ AE//CF.又
∵ AD=AE,CF=AD,
∴ AE=CF.
∴ 四边形AFCE是平行四边形.又
∵ ∠EAF=90°,
∴ 四边形AFCE是矩形.