《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

7. (★★)在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = 6 $，$ BC = 8 $。点 $ P $ 在矩形 $ ABCD $ 的内部。点 $ E $ 在边 $ BC $ 上，满足 $ \triangle PBE \sim \triangle DBC $。若 $ \triangle APD $ 是等腰三角形，则 $ PE $ 的长为3或$\frac{6}{5}$。

答案： 7. 3或$\frac{6}{5}$

8. (★★)如图 4 - 3，在 $ □ ABCD $ 中，$ G $ 是 $ DC $ 延长线上一点，$ AG $ 分别交 $ BD $ 和 $ BC $ 于点 $ E $，$ F $。求证：$ AF · AD = AG · BF $。

答案： 8. $\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB// DC$，$AD// BC$，
$\therefore\triangle ABF\sim\triangle GCF$，$\triangle GCF\sim\triangle GDA$，
$\therefore\triangle ABF\sim\triangle GDA$，
$\therefore\frac{AF}{AG}=\frac{BF}{DA}$，即$AF· AD = AG· BF$。

9. (★★)如图 4 - 4，小明站在路灯下，投在地面上的身影 $ AB = 1.125m $，蹲下来，则身影 $ AC = 0.5m $，已知小明的身高 $ AD = 1.6m $，蹲下时的高度等于站立时高度的一半，求路灯离地面的高度 $ PH $。

答案： 9. $\because AD// PH$，$\therefore\triangle ADB\sim\triangle HPB$，$\triangle AMC\sim\triangle HPC$，
$\therefore AB:HB = AD:PH$，$AC:AM = HC:PH$，
即$1.125:(1.125 + AH)=1.6:PH$，
$0.5:0.8=(0.5 + HA):PH$，
解得$PH = 8$，
即路灯离地面的高度$PH$为$8m$。

10. (★)如图 4 - 5，正方形 $ OABC $ 与正方形 $ ODEF $ 是位似图形，$ O $ 为位似中心，相似比为 $ 1:\sqrt{2} $，点 $ A $ 的坐标为 $ (1,0) $，则点 $ E $ 的坐标为【 】

A.$ (\sqrt{2},0) $
B.$ (\frac{3}{2},\frac{3}{2}) $
C.$ (\sqrt{2},\sqrt{2}) $
D.$ (2,2) $

答案： 10. C