《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

13. (★★★)我们知道,若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,且$b+d\neq0$,则$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$.
(1)若$b+d=0$,则$a$,$c$满足什么关系?
(2)若$\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}=t$,求$t^2-t-2$的值.

答案： 13.
(1)
∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}，$b+d=0，
∴$\frac{a}{b}=\frac{c}{-b}，$即a=-c.
∴ a+c=0.
(2)①当a+b+c≠0时，$\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}=t=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2.$
∴ t²-t-2=2²-2-2=0.
②当a+b+c=0时，b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，
∴$\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}=t=-1.$
∴ t²-t-2=0.
综上所述，t²-t-2的值为0.

14. (★★)(2021·大庆)已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\neq0$,则$\frac{x^2+xy}{yz}=$\frac{5}{6}.

答案： $14. \frac{5}{6}$

15. (★★)(2023·丽水)小慧同学在学习了九年级上册“4.1 成比例线段”3节课后,发现学习内容是一个逐步特殊化的过程,请在图4.1-3中的横线上填写适当的数值,感受这种特殊化的学习过程.

答案： 15. 2 【提示】由$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\sqrt{2}，$得$a=\sqrt{2}b，$$b=\sqrt{2}c，$
∴ a=2c，
∴$\frac{a}{c}=\frac{2c}{c}=2，$当$\frac{a}{c}=2$时，$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\sqrt{2}.$

1. (★)(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
(2)平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。

答案： 1.
(1)成比例
(2)成比例

2. (★)如图 4.2-1，$a// b// c$，$AB = 4$，$BC =$
2，$EF = 3$，则$DF$的长为9。

答案： 2. 9