《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

17. (★★)(2022·岳阳)如图 1.1 - 24,点$E$,$F$分别在$□ ABCD$的边$AB$,$BC$上,$AE = CF$,连接$DE$,$DF$. 有以下三个条件:①$\angle 1=\angle 2$;②$DE = DF$;③$\angle 3=\angle 4$. 请从中选择一个合适的条件作为已知条件,使$□ ABCD$为菱形.
(1)你添加的条件是①或③(填序号);
(2)添加了条件后,请证明$□ ABCD$为菱形.

答案： 17.
(1)①或③
(2)添加①：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore\angle A=\angle C$.
在$\triangle ADE$和$\triangle CDF$中，$\begin{cases}\angle1=\angle2,\\\angle A=\angle C,\\AE = CF,\end{cases}$
$\therefore\triangle ADE\cong\triangle CDF(AAS)$，$\therefore AD = CD$，
$\therefore□ ABCD$为菱形.
添加③：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore\angle A=\angle C$.
在$\triangle ADE$和$\triangle CDF$中，$\begin{cases}\angle3=\angle4,\\AE = CF,\\\angle A=\angle C,\end{cases}$
$\therefore\triangle ADE\cong\triangle CDF(ASA)$，$\therefore AD = CD$，
$\therefore□ ABCD$为菱形.

1. (★)菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。

答案： 1. 都相等 互相垂直 平分一组对角

2. (★)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形。

答案： 2. 互相垂直 四条边都相等

3. (★)下列命题是真命题的有____。(填序号)
①平行四边形的对角线相等且互相平分；②对角线相等的四边形是菱形；③菱形的对角线互相平分；④对角线互相垂直的四边形是菱形；⑤只有菱形才可能对角线互相垂直。

答案： 3. ③

4. (★)如图1.1-25，菱形ABCD的对角线交于平面直角坐标系的原点，顶点A的坐标为(-2,3)，现将菱形绕点O顺时针方向旋转180°后，A点坐标变为(2,-3)。

答案： 4. (2,-3)

5. (★)如图1.1-26，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，交AD于点E，连接CP，则∠CPB的度数为72°。

答案： 5. 72°

6. (★)菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图1.1-27，∠AOC=45°，OC=√{2}，则点B的坐标为【 】

A.(√{2},1)
B.(1,√{2})
C.(√{2}+1,1)
D.(1,√{2}+1)

答案： 6. C