《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

17. (★★)如图 1.2 - 19，在平面直角坐标系中，$O$ 为坐标原点，$AB// OC$，点 $B$，$C$ 的坐标分别为 $(15,8)$，$(21,0)$，动点 $M$ 从点 $A$ 沿 $A\to B$ 以每秒 1 个单位长度的速度运动；动点 $N$ 从点 $C$ 沿 $C\to O$ 以每秒 2 个单位长度的速度运动。$M$，$N$ 同时出发，当一个点到达终点时另一个点继续运动，直至到达终点，设运动时间为 $t$ 秒。
(1)当 $t = 3$ 时，点 $M$ 的坐标为(3,8)，点 $N$ 的坐标为(15,0)。
(2)当 $t$ 为何值时，四边形 $OAMN$ 是矩形？

答案： 17.
(1)(3,8) (15,0)
(2)根据题意知,AM=t,CN=2t,则ON=OC - CN=21 - 2t.
当四边形OAMN是矩形时,AM=ON,
∴ t=21 - 2t,解得t=7,
∴ 当t为7时，四边形OAMN是矩形

18. （★★）（2022·十堰）如图 1.2 - 20，在 $□ ABCD$ 中，$AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$E$，$F$ 分别是 $OA$，$OC$ 的中点。
（1）求证：$BE = DF$。
（2）设 $\frac{AC}{BD} = k$，当 $k$ 为何值时，四边形 $DEBF$ 是矩形？请说明理由。

答案：
18.
(1)如图,连接DE,BF.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ OB=OD,OA=OC.
∵ E,F分别是OA,OC的中点,
∴ OE=$\frac{1}{2}$OA,OF=$\frac{1}{2}$OC,
∴ OE=OF.
∵ OB=OD,OE=OF,
∴ 四边形BFDE是平行四边形,
∴ BE=DF.
(2)当k=2时,四边形DEBF是矩形.理由如下:当BD=EF时,四边形DEBF是矩形,
∴ 当OD=OE时,四边形DEBF是矩形.
∵ AE=OE,
∴ AC=2BD,
∴ 当k=2时,四边形DEBF是矩形