《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

答案： 相等 成比例 相似比 相似比的平方

1. (★)已知 $ a = \sqrt{2} $，$ b = \sqrt{3} $，$ c = 2 $，若 $ c $，$ b $，$ a $，$ x $ 成比例，则 $ x = $$\frac{\sqrt{6}}{2}$。

答案： 1. $\frac{\sqrt{6}}{2}$

2. (★)若 $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{1}{2} $，且 $ b + d - f \neq 0 $，则 $ \frac{a + c - e}{b + d - f} = $$\frac{1}{2}$。

答案： 2. $\frac{1}{2}$

3. (★)如图 4 - 1，在 $ \triangle ABC $ 中，点 $ M $，$ N $ 分别在 $ AB $，$ AC $ 上，且 $ MN // BC $，则下列比例式错误的是【 】

A.$ \frac{AM}{BM} = \frac{AN}{CN} $
B.$ \frac{AB}{BM} = \frac{AC}{CN} $
C.$ \frac{AB}{BC} = \frac{AM}{MN} $
D.$ \frac{BC}{MN} = \frac{AC}{CN} $

答案： 3. D

4. (★)下列四组图形一定相似的是【 】

A.正方形与矩形
B.正方形与菱形
C.菱形与菱形
D.正五边形与正五边形

答案： 4. D

5. (★)两个相似八边形的对应边的比为 $ 3:2 $，则它们对应边上的高的比为3:2，它们的面积的比为9:4。

答案： 5. 3:2 9:4

6. (★★)如图 4 - 2 所示，$ \triangle PQR $ 在边长为 1 个单位长度的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置，其中点 $ A $，$ B $，$ C $，$ D $ 也是小正方形的顶点，那么与 $ \triangle PQR $ 相似的是【 】

A.以点 $ P $，$ Q $，$ A $ 为顶点的三角形
B.以点 $ P $，$ Q $，$ B $ 为顶点的三角形
C.以点 $ P $，$ Q $，$ C $ 为顶点的三角形
D.以点 $ P $，$ Q $，$ D $ 为顶点的三角形

答案： 6. B【提示】根据数形结合思想和勾股定理，得$PR = 2$，$RQ = \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，$PQ = \sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$，$\angle PRQ = 135^{\circ}$。A. 由勾股定理得$AP = \sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}=PQ$，而$\triangle PRQ$不是等腰三角形，即对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项错误；B. 由勾股定理，得$BP = \sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，$PQ = \sqrt{10}$，$BQ = 5$，则$\frac{BQ}{PQ}=\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{BP}{QR}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{PQ}{PR}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，即三边对应成比例，故两三角形相似，故本选项正确；C. 两三角形的最大角的关系为$\angle CPQ ＜ \angle PRQ$，故两三角形不相似，故本选项错误；D. $\triangle PQD$是直角三角形，而$\triangle PRQ$是钝角三角形，故两三角形不相似，故本选项错误。故选B。