《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

2. （★）如图 1 - 2，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB，CD 于点 E，F，则阴影部分的面积是矩形面积的【 】
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A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{3}{10}$

答案： 2.B

3. （★★）如图 1 - 3，在△ABC 中，D 是 AB 的中点，E 是 CD 的中点，过点 C 作 CF//AB 交 AE 的延长线于点 F，连接 BF。
（1）求证：DB = CF；
（2）如果 AC = BC，试判断四边形 BDCF 的形状，并证明你的结论。

答案： 3.
(1)$\because CF// AB,\therefore \angle DAE=\angle CFE.$
又$\because DE=CE,\angle AED=\angle FEC,$
$\therefore \triangle ADE\cong\triangle FCE.$
$\therefore AD=CF.$
$\because AD=DB,$
$\therefore DB=CF.$
(2)四边形BDCF是矩形.
证明:$\because DB=CF,DB// CF,$
$\therefore$四边形BDCF为平行四边形.
又$\because AC=BC,AD=DB,$
$\therefore CD\perp AB.$
$\therefore$四边形BDCF是矩形.

4. (★★)如图 1 - 4，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 的中点，连接 AE，作 EF⊥AE 交∠DCG 的平分线于点 F，连接 AF，则△AEF 的周长为4√5+2√10。

答案： 4.$4\sqrt{5}+2\sqrt{10}$

5. （★★）如图 1 - 5，D 是线段 AB 的中点，C 是线段 AB 的垂直平分线上的任意一点，DE⊥AC 于点 E，DF⊥BC 于点 F。
（1）求证：CE = CF。
（2）点 C 运动到什么位置时，四边形 CEDF 成为正方形？证明你的结论。

答案： 5.
(1)略.
(2)当$CD=\frac{1}{2}AB$时,四边形
CEDF是正方形.证明略.