《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

13. (★★)如图4.4-37,方格纸中每个小正方形的边长为1,$\triangle ABC$和$\triangle DEF$的顶点都在方格纸的格点上.
(1)判断$\triangle ABC$和$\triangle DEF$是否相似,并说明理由;
(2)$P_1$,$P_2$,$P_3$,$P_4$,$P_5$,D,F是$\triangle DEF$边上的7个格点,请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点,使构成的三角形与$\triangle ABC$相似.(要求写出两个符合条件的三角形,并在图中连接相应线段,不必说明理由)

答案：
13.
(1) $\triangle ABC$和$\triangle DEF$相似. 理由如下：根据勾股定理，得$AB = 2\sqrt{5}$，$AC = \sqrt{5}$，$BC = 5$，$DE = 4\sqrt{2}$，$DF = 2\sqrt{2}$，$EF = 2\sqrt{10}$. $\because \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，$\therefore \triangle ABC \sim \triangle DEF$.
(2) 答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可.

$\triangle P_2P_5D$，$\triangle P_4P_5F$，$\triangle P_2P_4D$，$\triangle P_4P_5D$，$\triangle P_2P_4P_5$，$\triangle P_1FD$.

14. (★★★)已知在$\triangle ABC$中,$AB = 2\sqrt{5}$,$AC = 4\sqrt{5}$,$BC = 6$.
(1)如图4.4-38①,M为AB的中点,在线段AC上取点N,使$\triangle AMN$与$\triangle ABC$相似,求线段MN的长.
(2)图4.4-38②是由100个边长为1的小正方形组成的$10×10$正方形网格,设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形.
①请你在所给的网格中画出格点$\triangle A_1B_1C_1$,使得$\triangle A_1B_1C_1$与$\triangle ABC$全等(画出一个即可,不需证明);
②试直接写出在所给的网格中与$\triangle ABC$相似且面积最大的格点三角形的个数,并画出其中的一个(不需证明).

答案：
14.
(1) 当$\triangle AMN \sim \triangle ACB$时，有$\frac{AM}{AC}=\frac{MN}{BC}$.
$\because M$为$AB$的中点，$AB = 2\sqrt{5}$，$\therefore AM = \sqrt{5}$.
$\because BC = 6$，$AC = 4\sqrt{5}$，$\therefore MN = \frac{3}{2}$. 当$\triangle AMN \sim \triangle ABC$时，有$\angle ANM = \angle C$，$\therefore \frac{NM}{BC}=\frac{MA}{BA}=\frac{1}{2}$，$\therefore MN = \frac{1}{2}BC = 3$，$\therefore MN$的长为$\frac{3}{2}$或$3$.
(2) ① 如图①(答案不唯一). ② 8个. 如图②(答案不唯一).