《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

6. (★)如图4.7-9，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE//BC，且AD=$\frac{1}{3}$AB，则△ADE与△ABC的周长之比为1:3，面积之比为1:9。

答案： 6. 1:3 1:9

7. （★★）如图4.7-10，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，点P在AC上（点P不与A，C重合），PQ//AB交BC于点Q。
（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求PQ的长；
（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求PQ的长。

答案： 7.
(1)
∵ PQ//AB,
∴ ∠CPQ = ∠CAB,
∠CQP = ∠CBA,
∴ △PQC∼△ABC,
∴$ \frac{S_{\triangle PQC}}{S_{\triangle ABC}} = (\frac{PQ}{AB})^2 $
∵$ S_{\triangle PQC}=S_{四边形PABQ}, AB$
=5,
∴$ \frac{S_{\triangle PQC}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{1}{2} = (\frac{PQ}{5})^2, $
∴$ PQ = \frac{5\sqrt{2}}{2}$
(2)
∵ △PQC∼△ABC, 设相似比为 k,
∴$ \frac{PQ}{AB} = \frac{PC}{AC} = \frac{QC}{BC} = k. $
∵ AB = 5, AC = 4, BC = 3,
∴ PQ = 5k, PC = 4k, QC = 3k.
∵ △PQC的周长
等于四边形PABQ的周长,
∴ PQ + PC + QC = PQ +
PA + AB + BQ, 即 5k + 4k + 3k = 5k + 4 - 4k + 5 + 3 - 3k,
∴$ k = \frac{6}{7}, $
∴$ PQ = 5k = \frac{30}{7}$

8. （★）如图4.7-11，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D，则△BCD与△ABC的周长之比为【】

A.1:2
B.1:3
C.1:4
D.1:5

答案： 8. A

9. (★★)在△ABC中，AB=6cm，AC=5cm，点D，E分别在AB，AC上。若△ADE与△ABC相似，且$S_{△ADE}:S_{四边形BCED}=1:8$，则AD=2或\frac{5}{3}cm。

答案： 9. 2或$\frac{5}{3}$

10. （★★）如图4.7-12，在△ABC中，如果AB=30cm，BC=24cm，CA=27cm，AE=EF=FB，EG//DF//BC，FM//EN//AC，图中阴影部分三个三角形周长的和为【】

A.70cm
B.75cm
C.81cm
D.80cm

答案： 10. C

11. (★★)如图4.7-13，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比为1:3。

答案： 11. 1:3

12. (★★)如图4.7-14，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，则图中阴影部分的面积与△ABC的面积之比为1:3。

答案： 12. 1:3

13. (★★)如图4.7-15，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE//AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长为7。

答案： 13. 7