《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

9. (★★)已知实数$x$满足$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2(x+\frac{1}{x})-6 = 0$，求$x+\frac{1}{x}$的值.

答案： 9.将原方程两边同时加上2,得$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2+2(x+\frac{1}{x})-6=2$,即$(x+\frac{1}{x})^{2}+2(x+\frac{1}{x})=8$.设$x+\frac{1}{x}=y$,则方程$(x+\frac{1}{x})^{2}+2(x+\frac{1}{x})=8$可化为$y^{2}+2y=8$.配方，得$y^{2}+2y+1=8+1$,所以$(y+1)^{2}=9$.直接开平方，得$y+1=\pm3$.解得$y_1=2$,$y_2=-4$,即$x+\frac{1}{x}=2$或$x+\frac{1}{x}=-4$.

10. (★)解方程$2x^{2}+4x + 1 = 0$，配方后得新方程为【 】

A.$(2x + 2)^{2}-2 = 0$
B.$(2x + 2)^{2}+3 = 0$
C.$(x + 2)^{2}-\frac{1}{2}=0$
D.$(x + 1)^{2}-\frac{1}{2}=0$

答案： 10. D

11. (★★)已知直角三角形的两边长$x$，$y$满足$\vert x^{2}-4\vert+\sqrt{y^{2}-5y + 6}=0$，则第三边长为【 】

A.$2\sqrt{2}$或$\sqrt{13}$
B.$\sqrt{5}$或$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{13}$或$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{13}$，$2\sqrt{2}$或$\sqrt{5}$

答案： 11. D

12. (★★)用配方法解下列方程：
(1)$2x^{2}-x - 3 = 0$；
(2)$3t^{2}=5t + 2$；
(3)$(2x + 3)(x - 6)=16$.

答案： 12.
(1) 两边同除以2,得$x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=0$.配方，得$x^{2}-\frac{1}{2}x+(\frac{1}{4})^{2}-(\frac{1}{4})^{2}-\frac{3}{2}=0$,$(x-\frac{1}{4})^{2}-\frac{25}{16}=0$.移项，得$(x-\frac{1}{4})^{2}=\frac{25}{16}$.两边开平方，得$x-\frac{1}{4}=\pm\frac{5}{4}$,即$x-\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$或$x-\frac{1}{4}=-\frac{5}{4}$,所以$x_1=\frac{3}{2}$,$x_2=-1$.
(2) 两边同除以3,得$t^{2}=\frac{5}{3}t+\frac{2}{3}$移项，得$t^{2}-\frac{5}{3}t=\frac{2}{3}$配方，得$t^{2}-\frac{5}{3}t+(\frac{5}{6})^{2}=\frac{2}{3}+(\frac{5}{6})^{2}$,$(t-\frac{5}{6})^{2}=\frac{49}{36}$两边开平方，得$t-\frac{5}{6}=\pm\frac{7}{6}$,即$t-\frac{5}{6}=\frac{7}{6}$或$t-\frac{5}{6}=-\frac{7}{6}$,所以$t_1=2$,$t_2=-\frac{1}{3}$.
(3) 原方程化为一般形式为$2x^{2}-9x-34=0$.两边同除以2,得$x^{2}-\frac{9}{2}x-17=0$.配方，得$x^{2}-\frac{9}{2}x+(\frac{9}{4})^{2}-(\frac{9}{4})^{2}-17=0$,即$(x-\frac{9}{4})^{2}-\frac{353}{16}=0$.移项，得$(x-\frac{9}{4})^{2}=\frac{353}{16}$两边开平方，得$x-\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{353}}{4}$或$x-\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{353}}{4}$所以$x_1=\frac{9+\sqrt{353}}{4}$,$x_2=\frac{9-\sqrt{353}}{4}$.