《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

14. （★★★）如图4.7-16，PN//BC，AD⊥BC交PN于点E，交BC于点D。
（1）若$\frac{AP}{PB}=\frac{1}{2}$，$S_{△ABC}=18$，求$S_{△APN}$；
（2）若$\frac{S_{△APN}}{S_{四边形PBCN}}=\frac{1}{2}$，求$\frac{AE}{AD}$的值。

答案： 14.
(1)
∵ PN//BC,
∴ ∠APN = ∠ABC,
∠ANP = ∠ACB,
∴ △APN∼△ABC,
∴$ \frac{S_{\triangle APN}}{S_{\triangle ABC}} =$
$(\frac{AP}{AB})^2 $
∵$ \frac{AP}{PB} = \frac{1}{2}, $
∴$ \frac{AP}{AB} = \frac{1}{3} $
∵$ S_{\triangle ABC}=18,$
∴$ \frac{S_{\triangle APN}}{S_{\triangle ABC}} = (\frac{1}{3})^2 = \frac{S_{\triangle APN}}{18}, $
∴$ S_{\triangle APN}=2.$
(2)
∵ PN//BC,
∴ ∠APN = ∠ABC, ∠ANP
= ∠ACB, ∠APE = ∠ABD, ∠AEP = ∠ADB,
∴ △APN∼△ABC, △APE∼△ABD,
∴$ \frac{AP}{AB} =$
$\frac{AE}{AD}, \frac{S_{\triangle APN}}{S_{\triangle ABC}} = (\frac{AP}{AB})^2 = (\frac{AE}{AD})^2 $
∵$ \frac{S_{\triangle APN}}{S_{四边形PBCN}} = \frac{1}{2},$
∴$ \frac{S_{\triangle APN}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{1}{3} = (\frac{AE}{AD})^2, $
∴$ \frac{AE}{AD} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$

15. （★★★）（1）如图4.7-17①，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE//BC，AQ交DE于点P。求证：$\frac{DP}{BQ}=\frac{PE}{QC}$。
（2）如图4.7-17②，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点。
①若AB=AC=1，直接写出MN的长；
②求证：$MN^{2}=DM· EN$。

答案： 15.
(1)在△ABQ中,
∵ DP//BQ,
∴ ∠ADP
= ∠ABQ, ∠APD = ∠AQB,
∴ △ADP∼△ABQ,
∴$ \frac{DP}{BQ} = \frac{AP}{AQ} $同理在△ACQ中$, \frac{PE}{QC} = \frac{AP}{AQ}, $
∴
$\frac{PE}{QC}$
$(2)①\frac{\sqrt{2}}{9} ②$
∵ ∠B + ∠C = 90°, ∠CEF +
∠C = 90°,
∴ ∠B = ∠CEF. 又
∵ ∠BGD =
∠EFC,
∴ △BGD∼△EFC,
∴$ \frac{DG}{CF} = \frac{BG}{EF},$
∴ DG·EF = CF·BG. 又
∵ DG = GF = EF,
∴$ GF^2 = CF·BG. $由
(1)得$ \frac{DM}{BG} = \frac{MN}{GF} = \frac{EN}{CF},$
∴$ (\frac{MN}{GF})^2 = \frac{DM}{BG}·\frac{EN}{CF}, $
∴$ MN^2 = DM·EN.$

16. （★★）如图4.7-18，点$A_{1}$，$A_{2}$，$A_{3}$，$A_{4}$在射线OA上，点$B_{1}$，$B_{2}$，$B_{3}$在射线OB上，且$A_{1}B_{1}//A_{2}B_{2}//A_{3}B_{3}$，$A_{2}B_{1}//A_{3}B_{2}//A_{4}B_{3}$。若△$A_{2}B_{1}B_{2}$和△$A_{3}B_{2}B_{3}$的面积分别为1和4，则图中三个阴影三角形的面积之和为____。

答案： 16. 10.5 【提示】
∵ △A₂B₂B₂, △A₃B₂B₃
的面积分别为1,4,
A₂B₂//A₃B₃, A₂B₁//A₃B₂,
∴ ∠OB₂A₂ = ∠OB₁A₃, ∠A₂B₂B₂ = ∠A₃B₂B₃,
∴ △B₂B₁A₂∼△B₂B₃A₃,
∴$ \frac{B₂B₁}{B₂B₃} = \frac{1}{2} = \frac{A₂B₂}{A₃B₃},$
∴$ \frac{A₂A₃}{A₃A₄} = \frac{1}{2}.$
∵$ \frac{S_{\triangle A₂B₂A₃}}{S_{\triangle A₃B₂B₃}} = \frac{1}{2}, △A₃B₂B₃$的面积是4,
∴$ \frac{S_{\triangle A₂B₂A₃}}{\frac{1}{2}×S_{\triangle A₃B₂B₃}} = \frac{1}{2}×4 = 2.$
同理可得△A₃B₃A₄的面积为$2×S_{\triangle A₃B₂B₃} = 2×4$
=8;
△A₁B₁A₂的面积$ = \frac{1}{2}×S_{\triangle A₂B₂B₂} = \frac{1}{2}×1 = 0.5.$
∴ 三个阴影三角形的面积之和 = 0.5 + 2 + 8
=10.5.