《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

16. (★★)如图4.4-45，在△ABC中，AB=AC=1，BC = $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，在AC边上截取AD=BC，连接BD。
(1)通过计算，判断AD²与AC·CD的大小关系；
(2)求∠ABD的度数。

答案： 16.
(1)
∵AB = AC = 1，BC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴AD=
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，CD = 1 - $\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∴AD² = $\frac{5 + 1 - 2\sqrt{5}}{4}=\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$，AC·CD = 1×$\frac{3 - \sqrt{5}}{2}=\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$，
∴AD² = AC·
CD.
(2)
∵AD = BC，AD² = AC·CD，
∴BC² =
AC·CD，即$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$，又
∵∠C = ∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AC}=1$，∠DBC =
∠A，
∴BD = BC = AD，
∴∠A = ∠ABD，∠C =
∠BDC.设∠A = x°，则∠ABD = x°，∠DBC = x°，∠C
= 2x°.
∵∠A + ∠ABC + ∠C = 180°，
∴x + 2x + 2x
= 180.解得x = 36.
∴∠ABD = 36°.

1. (★)两角分别相等的两个三角形相似.

答案： 1. 两

2. (★)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

答案： 2. 两 夹角

3. (★)三边成比例的两个三角形相似.

答案： 3. 三

4. (★)如图 4.5 - 1，在△ABC 中，∠A = 78°，AB = 4，AC = 6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是【 】

答案： 4. C

5. (★)△ABC 的三边长分别为$\sqrt{2}$，$\sqrt{10}$，2，△DEF 的两边长分别为 1 和$\sqrt{5}$，如果△ABC∽△DEF，那么△DEF 的第三边长为【 】

A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$

答案： 5. C