《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

18. (★★★)(2022·黄冈)如图 6.2-15，已知一次函数 $ y_{1} = kx + b $ 的图象与函数 $ y_{2} = \frac{m}{x}(x ＞ 0) $ 的图象交于 $ A(6, -\frac{1}{2}) $，$ B(\frac{1}{2}, n) $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $。将直线 $ AB $ 沿 $ y $ 轴向上平移 $ t $ 个单位长度得到直线 $ DE $，$ DE $ 与 $ y $ 轴交于点 $ F $。
(1)求 $ y_{1} $ 与 $ y_{2} $ 的解析式；
(2)观察图象，直接写出 $ y_{1} ＜ y_{2} $ 时 $ x $ 的取值范围；
(3)连接 $ AD $，$ CD $，若 $ \triangle ACD $ 的面积为 6，则 $ t $ 的值为2。

答案：
18.
(1)将点$A(6,-\frac{1}{2})$代入$y_2=\frac{m}{x}$，解得$m = -3$.$\therefore y_2=-\frac{3}{x}$
$\because B(\frac{1}{2},n)$在$y_2=-\frac{3}{x}$上，可得$n = -6$,$\therefore$点$B$的坐标为$(\frac{1}{2},-6)$.
将点$A(6,-\frac{1}{2})$,$B(\frac{1}{2},-6)$代入$y_1=kx + b$,
$\begin{cases}\frac{1}{2}k + b = -6,\\6k + b = -\frac{1}{2},\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 1,\\b = -\frac{13}{2}\end{cases}$$\therefore y_1=x-\frac{13}{2}$
综上可知，$y_1=x-\frac{13}{2}$,$y_2=-\frac{3}{x}$
(2)$x$的取值范围为$\frac{1}{2}＜x＜6$.
(3)$2$【提示】在$y_1=x-\frac{13}{2}$中，令$x = 0$，则$y = -\frac{13}{2}$,$\therefore$点$C$的坐标为$(0,-\frac{13}{2})$.
$\because$直线$AB$沿$y$轴向上平移$t$个单位长度，
$\therefore$直线$DE$的解析式为$y=x-\frac{13}{2}+t$,
$\therefore$点$F$的坐标为$(0,-\frac{13}{2}+t)$.
如图，过点$F$作$FG\perp AB$交$AB$于点$G$，连接$AF$，

直线$AB$与$x$轴的交点为$(\frac{13}{2},0)$，与$y$轴的交点为$C(0,-\frac{13}{2})$,$\therefore\angle OCA = 45°$，$\therefore FG = CG$.$\because FC = t$,$\therefore FG=\frac{\sqrt{2}}{2}t$.
$\because$点$A$的坐标为$(6,-\frac{1}{2})$，点$C$的坐标为$(0,-\frac{13}{2})$,$\therefore$根据勾股定理可求得$AC = 6\sqrt{2}$.
$\because AB// DF$,$\therefore S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ACF}$,$\therefore\frac{1}{2}×6\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}t = 6$,$\therefore t = 2$.

1. (★)已知函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$(2,3)$，下列说法正确的是【 】

A.$y$随$x$的增大而增大
B.函数的图象只在第一象限
C.当$x＜0$时，必有$y＜0$
D.点$(-2,-3)$不在此函数的图象上

答案： 1.C

2. (★)对于函数$y=\frac{6}{x}$，下列说法错误的是【 】

A.它的图象分布在第一、三象限
B.它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C.当$x＞0$时，$y$的值随$x$的增大而增大
D.当$x＜0$时，$y$的值随$x$的增大而减小

答案： 2.C

3. (★)如图6.2-16，已知点$A$在反比例函数图象上，$AM\perp x$轴于点$M$，且$\triangle AOM$的面积为1，则反比例函数的解析式为__________.

答案： $3.y= - \frac{2}{x}$

4. (★★)函数$y=2x+1$与函数$y=\frac{k}{x}$的图象相交于点$(2,m)$，则下列各点不在函数$y=\frac{k}{x}$的图象上的是【 】

A.$(-2,-5)$
B.$(\frac{5}{2},4)$
C.$(-1,10)$
D.$(5,2)$

答案： 4.C