《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

14. （★★）位于河南省登封市境内的元代观星台（图 1.6 - 12①），是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一.
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度. 如图 1.6 - 12②所示，他们在地面一条水平步道 MP 上架设测角仪，先在点 M 处测得观星台最高点 A 的仰角为 $ 22° $，然后沿 MP 方向前进 16m 到达点 N 处，测得点 A 的仰角为 $ 45° $，测角仪的高度为 1.6m.
（1）求观星台最高点 A 距离地面的高度.（结果精确到 0.1m，参考数据：$ \sin22° \approx 0.37 $，$ \cos22° \approx 0.93 $，$ \tan22° \approx 0.40 $，$ \sqrt{2} \approx 1.41 $）
（2）“景点简介”显示，观星台的高度为 12.6m. 请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议.

答案：
14.
(1)如图，过点$A$作$AF \perp MP$，垂足为点$F$，交$BC$的延长线于点$E$.

由题意知，四边形$MBCN$和四边形$NCEF$均为矩形.
设$AE=xm$，
在$Rt\triangle ACE$中，$\angle AEC=90°$，
$\angle ACE=45°$，
$\therefore CE=AE=x$.
在$Rt\triangle ABE$中，$\angle AEB=90°,\angle ABE=22°$，
又$\because \tan22°=\frac{AE}{BE}$，
$\therefore BE=\frac{AE}{\tan22°}=\frac{x}{0.40}=\frac{5}{2}x$.
$\because BE-CE=BC$，
$\therefore \frac{5}{2}x-x=16$，
解得$x=\frac{32}{3}\approx10.67$.
$\because EF=BM=1.6$，
$\therefore AF=AE+EF\approx10.67+1.6\approx12.3$.
即观星台最高点$A$距离地面的高度约为$12.3m$.
(2)误差为$12.6-12.3=0.3(m)$.
可多次测量，取测量数据的平均值(答案不唯一，合理即可).

15. （★★）（2022·上海）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下面灯杆 AB 的长.
（1）如图 1.6 - 13①，将一个测角仪放置在距离灯杆 AB 底部 a 米的点 D 处，测角仪高为 b 米，从 C 点测得 A 点的仰角为 $ \alpha $，求灯杆 AB 的高度.（用含 a，b，$ \alpha $ 的代数式表示）
（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法至今仍有借鉴意义. 如图 1.6 - 13②，现将一高度为 2 米的木杆 CG 放在灯杆 AB 前，测得其影长 CH 为 1 米，再将木杆沿着 BC 方向移动 1.8 米至 DE 的位置，此时测得其影长 DF 为 3 米，求灯杆 AB 的高度.

答案：
15.
(1)如图，由题意，得$BE=CD=b$米，$EC =BD=a$米，$\angle AEC=90°$，
$\angle ACE=\alpha$.

在$Rt\triangle AEC$中，$AE=CE · \tan\alpha=a\tan\alpha$（米），
$\therefore AB=AE+BE=(b+a\tan\alpha)$米，
$\therefore$灯杆$AB$的高度为$(b+a\tan\alpha)$米.
(2)由题意，得$GC=DE=2$米，$CD=1.8$米，$\angle ABC=\angle GCD=\angle EDF=90°$.
$\because \angle AHB=\angle GHC$，
$\therefore \triangle ABH \sim \triangle GCH$，
$\therefore \frac{CG}{AB}=\frac{CH}{BH}$，
$\therefore \frac{2}{AB}=\frac{1}{1+BC}$.
又$\because \angle F=\angle F$，
$\therefore \triangle ABF \sim \triangle EDF$，
$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{DF}{BF}$，
$\therefore \frac{2}{AB}=\frac{3}{3+1.8+BC}$，
$\therefore \frac{1}{1+BC}=\frac{3}{3+1.8+BC}$，
$\therefore BC=0.9$，
经检验，$BC=0.9$是方程的根且符合题意，
$\therefore \frac{2}{AB}=\frac{1}{1+0.9},\therefore AB=3.8$，
经检验，$AB=3.8$是方程的根且符合题意，
答：灯杆$AB$的高度为$3.8$米.