《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

6. (★★)如图 4.5 - 2，在△ABC 内任取一点 D，连接 AD 和 BD. 点 E 在△ABC 外，∠EBC = ∠ABD，∠ECB = ∠DAB. 求证：△DBE∽△ABC.

答案： 6. 在△DBE与△ABC中，∠DBE=∠EBC+∠CBD，∠ABC=∠ABD+∠DBC.
∵∠ABD=∠EBC，
∴∠DBE=∠ABC.
在△ABD和△CBE中，由已知条件有∠EBC=∠ABD，∠ECB=∠DAB，
∴△ABD∽△CBE，
∴$\frac{BE}{BD}=\frac{BC}{AB}$，即$\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{AB}$，
∴△DBE∽△ABC.

7. (★★)(2022·邵阳)如图 4.5 - 3，在△ABC 中，点 D 在 AB 边上，点 E 在 AC 边上，请添加一个条件答案不唯一，如∠ADE=∠B或∠AED=∠C或$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$等，使△ADE∽△ABC.

答案： 7. 答案不唯一，如∠ADE=∠B或∠AED=∠C或$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$等

8. (★★)(2022·黄冈)如图 4.5 - 4①，在△ABC 中，∠B = 36°，动点 P 从点 A 出发，沿折线 A→B→C 匀速运动至点 C 停止. 若点 P 的运动速度为 1cm/s，设点 P 的运动时间为 t(s)，AP 的长度为 y(cm)，y 与 t 的函数图象如图 4.5 - 4②所示. 当 AP 恰好平分∠BAC 时，t 的值为$2\sqrt{5}+2$.

答案：
8. $2\sqrt{5}+2$ [提示] 如图，当AP平分∠BAC时，

由题图②可知AB=BC=4cm.
∵∠B=36°，
AB=BC，
∴∠BAC=∠C=72°.
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠PAC=∠B=36°，
∴AP=BP，∠APC=72°=∠C，
∴AP=AC=BP.
∵∠PAC=∠B，∠C=∠C，
∴△APC∽△BAC，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{PC}{AC}$，
∴$AP^2=AB· PC=4(4 - AP)$，
∴AP=$2\sqrt{5}-2$（负值已舍去），
∴BP=$2\sqrt{5}-2$，
∴$t = 4 + 2\sqrt{5}-2 = 2\sqrt{5}+2$.

9. (★★)如图 4.5 - 5，AD 为△ABC 的内角平分线，AD 的垂直平分线交 BC 的延长线于点 E，交 AB 于点 F，△ABE 与△CAE 相似吗？请说明你猜想的正确性.

答案： 9. 猜想：相似.理由如下：
∵EF垂直平分AD，
∴AE=DE，
∴∠ADE=∠DAE.
又
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠BAD，
∴∠BAD+∠DAE=∠DAC+∠ADE.
又
∵∠ACE=∠DAC+∠ADC，
∴∠BAD+∠DAE=∠ACE，
即∠BAE=∠ACE.
又
∵∠AEC=∠AEB，
∴△ABE∽△CAE.

10. (★★)如图 4.5 - 6，在矩形 ABCD 中，以对角线 BD 为一边构造一个矩形 BDEF，使得另一边 EF 过原矩形的顶点 C.
(1)设 Rt△CBD 的面积为$S_{1}$，Rt△BFC 的面积为$S_{2}$，Rt△DCE 的面积为$S_{3}$，则$S_{1}$=(填“＞”“=”或“＜”) $S_{2}+S_{3}$；
(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.

答案： 10.
(1) =
(2) △BCF∽△DBC，△BCF∽△CDE，△DBC∽△CDE.选△BCF∽△CDE进行证明.
证明如下：在矩形ABCD中，∠BCD=90°，且点C在边EF上，
∴∠BCF+∠DCE=90°.
在矩形BDEF中，∠F=∠E=90°.
∵在Rt△BCF中，∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠CBF=∠DCE，
∴△BCF∽△CDE.