《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

15. (★★)(2022·德州)如图2.3 - 9，某小区矩形绿地的长和宽分别为35m，15m。现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地。
(1)若扩充后的矩形绿地面积为800m²，求新的矩形绿地的长与宽；
(2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长、宽之比为5:3，求新的矩形绿地面积。

答案： 15.
(1)设将绿地的长、宽都增加xm，则新的矩形绿地的长为$(35 + x)m$，宽为$(15 + x)m$.根据题意，得$(35 + x)(15 + x) = 800$，整理，得$x^{2} + 50x - 275 = 0$.
解得$x_1 = 5,x_2 = - 55$(不符合题意，舍去)，所以$35 + x = 35 + 5 = 40$，$15 + x = 15 + 5 = 20$.所以新的矩形绿地的长为40m，宽为20m.
(2)设将绿地的长、宽都增加ym，则新的矩形绿地的长为$(35 + y)m$，宽为$(15 + y)m$.根据题意，得$(35 + y):(15 + y) = 5:3$，即$3(35 + y) = 5(15 + y)$，解得$y = 15$，符合题意.所以$(35 + y)(15 + y) = (35 + 15) × (15 + 15) = 1500$.所以新的矩形绿地面积为$1500m^{2}$.

1. (★)因式分解:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做因式分解.

答案： 1.积

2. (★)解一元二次方程的基本方法有四种:
(1)直接开平方法;
(2)配方法;
(3)公式法;
(4)因式分解法.

答案： 2.
(1)直接开平方法
(2)配方法
(3)公式法
(4)因式分解法

3. (★)将下列各式因式分解:
(1)$5x^{2}-3x=$x(5x-3);
(2)$4x^{2}-9=$(2x+3)(2x-3).

答案： 3.
(1)x(5x-3)
(2)(2x+3)(2x-3)

4. (★)方程$(x - 2)(x + 1)=0$的解是x₁=2,x₂=-1.

答案： 4.x₁=2,x₂=-1

5. (★)我们解一元二次方程$3x^{2}-6x = 0$时,可以运用因式分解法将此方程化为$3x(x - 2)=0$,从而得到两个一元一次方程$3x = 0$或$x - 2 = 0$,进而得到原方程的解为$x_{1}=0,x_{2}=2$.这种解法体现的数学思想是【 】

A.转化思想
B.函数思想
C.数形结合思想
D.公理化思想

答案： 5.A

6. (★)请你写出一个以$3$和$-2$为根的一元二次方程:x^{2}-x-6=0.

答案： 6.答案不唯一，如$x^{2}-x-6=0$

7. (★)方程$x(x + 2)=x + 2$的解是【 】

A.$x = 1$
B.$x_{1}=0,x_{2}=-2$
C.$x_{1}=1,x_{2}=2$
D.$x_{1}=1,x_{2}=-2$

答案： 7.D

8. (★★)用因式分解法解下列方程:
(1)$4x^{2}-5x = 0$;
(2)$7x(3 - x)=4(x - 3)$;
(3)$(2x + 3)^{2}=(1 - 3x)^{2}$;
(4)$2(t - 1)^{2}+t = 1$.

答案： 8.
(1)整理，得x(4x-5)=0，
得x=0或4x-5=0，
即$x₁=0,x₂=\frac{5}{4}。$
(2)移项、因式分解，得
(7x+4)(x-3)=0，
7x+4=0或x-3=0，
解得$x₁=-\frac{4}{7},x₂=3。$
(3)移项，得
$(2x+3)^{2}-(1-3x)^{2}=0，$
因式分解，得
[(2x+3)+(1-3x)][(2x+3)-(1-3x)]=0，
(4-x)(5x+2)=0,4-x=0或5x+2=0，
解得$x₁=4,x₂=-\frac{2}{5}。$
(4)移项、因式分解，得
(2t-1)(t-1)=0,2t-1=0或t-1=0，
解得$t₁=\frac{1}{2},t₂=1。$