《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

12. (★★)在四边形$ABCD$中,对角线$AC$,$BD$相交于点$O$. 有下列条件:①$AB = CD$;②$AB// CD$;③$OA = OC$;④$OB = OD$;⑤$AC\perp BD$;⑥$AC$平分$\angle BAD$. 从以上六个条件中,选取三个推出四边形$ABCD$是菱形,如①②⑤$\Rightarrow$四边形$ABCD$是菱形. 再写出符合要求的两个:①②⑥$\Rightarrow$四边形$ABCD$是菱形;③④⑤或③④⑥$\Rightarrow$四边形$ABCD$是菱形.

答案： 12.①②⑥ ③④⑤或③④⑥

13. (★★)如图 1.1 - 20,在$\triangle ABC$中,点$D$,$E$,$F$分别在边$BC$,$AB$,$AC$上,且$DE// AC$,$DF// AB$. 有下列三种说法:①四边形$AEDF$是平行四边形;②如果$AD$平分$\angle BAC$,那么四边形$AEDF$是菱形;③如果$AD\perp BC$且$AB = AC$,那么四边形$AEDF$是菱形. 其中,正确的有①②③.(填序号)

答案： 13.①②③

14. (★★)如图 1.1 - 21,$C$是线段$BD$上一点,$\triangle ABC$和$\triangle ECD$都是等边三角形,$R$,$F$,$G$,$H$分别是四边形$ABDE$各边的中点,求证:四边形$RFGH$是菱形.

答案： 14.连接$AD$，$BE$，$\because\triangle ABC$和$\triangle ECD$都是等边三角形，$\therefore AC = BC$，$EC = DC$，$\angle BCE=\angle ACD = 60^{\circ}+\angle ACE$，$\therefore\triangle BCE\cong\triangle ACD(SAS)$，$\therefore BE = AD$.又$\because R$，$F$分别是$BA$，$BD$的中点，$\therefore RF$为$\triangle BAD$的中位线，$\therefore RF=\frac{1}{2}AD$.同理得$GH=\frac{1}{2}AD$，$HR=\frac{1}{2}BE$，$FG=\frac{1}{2}BE$，$\therefore RF = FG = GH = HR$，$\therefore$四边形$RFGH$是菱形.

15. (★★)如图 1.1 - 22,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle B = 60^{\circ}$,$\angle FAC$和$\angle ECA$是$\triangle ABC$的两个外角,$AD$平分$\angle FAC$,$CD$平分$\angle ECA$. 求证:四边形$ABCD$是菱形.

答案： 15.$\because\angle B = 60^{\circ}$，$AB = AC$，
$\therefore\triangle ABC$为等边三角形，
$\therefore AB = BC$，$\angle BAC=\angle ACB = 60^{\circ}$，
$\therefore\angle FAC=\angle ACE = 120^{\circ}$.
又$\because AD$平分$\angle FAC$，$CD$平分$\angle ECA$，
$\therefore\angle FAD=\angle DAC=\angle ACD=\angle DCE = 60^{\circ}$，
$\therefore\angle BAD=\angle BCD = 120^{\circ}$，
$\therefore\angle B=\angle D = 60^{\circ}$，
$\therefore\angle FAD=\angle B$，$\angle DCE=\angle B$，
$\therefore AD// BC$，$AB// CD$，
$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形.
$\because AB = BC$，$\therefore$平行四边形$ABCD$是菱形.

16. (★★)如图 1.1 - 23,已知$BE\perp AD$,交$AD$的延长线于点$E$,$CF\perp AD$于点$F$,且$BE = CF$.
(1)请你判断$AD$是$\triangle ABC$的中线还是角平分线,并证明你的结论.
(2)连接$BF$,$CE$,是否可以在$\triangle ABC$中添加一个条件,使四边形$BFCE$是菱形? 如果可以,试写出这个条件;如果不可以,请说明理由.

答案： 16.
(1)$AD$是$\triangle ABC$的中线.证明：$\because BE\perp AD$，$CF\perp AD$，$\therefore BE// CF$.又$\because BE = CF$，$\therefore$四边形$BFCE$是平行四边形，$\therefore BC$与$EF$互相平分，即$D$为$BC$的中点，$\therefore AD$是$\triangle ABC$的中线.
(2)不可以，四边形$BFCE$不可能是菱形.理由：当四边形$BFCE$是菱形时，则$BC\perp EF$，而$D$又为$BC$的中点，所以可推出$\triangle ABC$是等腰三角形，即$AC = AB$，而此时，$E$，$D$，$F$三点重合，即四边形$BFCE$不存在.