《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

8. (★★)如图 2.4 - 4，已知 $ \triangle ABC $，矩形 $ GDEF $ 的边 $ DE $ 在 $ BC $ 边上. $ G $，$ F $ 分别在 $ AB $，$ AC $ 边上，$ BC = 5cm $，$ S_{\triangle ABC} $ 为 $ 30cm^{2} $，$ AH $ 为 $ \triangle ABC $ 在 $ BC $ 边上的高，求矩形 $ GDEF $ 的最大面积.

答案： 8. $15cm^2$.

9. (★)在一块长为 $ 30m $、宽为 $ 20m $ 的矩形地面上修建一个正方形花台. 设正方形的边长为 $ xm $，除去花台后，矩形地面的剩余面积为 $ ym^{2} $，则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式是____，自变量 $ x $ 的取值范围是____. $ y $ 有最大值或最小值吗？若有，请写出这个值. 答：____.

答案： 9. $y = 600 - x^2$ $0 ＜ x \leq 20$ 没有最大值,最小值为200

10. (★★)如图 2.4 - 5，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle B = 90^{\circ} $，$ AB = 12cm $，$ BC = 24cm $，动点 $ P $ 从点 $ A $ 开始沿边 $ AB $ 向 $ B $ 以 $ 2cm/s $ 的速度移动(不与点 $ B $ 重合)，动点 $ Q $ 从点 $ B $ 开始沿边 $ BC $ 向 $ C $ 以 $ 4cm/s $ 的速度移动(不与点 $ C $ 重合). 如果 $ P $，$ Q $ 分别从 $ A $，$ B $ 同时出发，那么经过3秒，四边形 $ APQC $ 的面积最小.

答案： 10. 3

11. (★★)如图 2.4 - 6，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，$ MN = 4dm $，抛物线顶点到 $ MN $ 的距离是 $ 4dm $. 要在铁皮上截下一矩形 $ ABCD $，使矩形顶点 $ B $，$ C $ 落在 $ MN $ 上，$ A $，$ D $ 落在抛物线上，试问：这样截下的矩形铁皮周长能否等于 $ 8dm $？请说明理由.

答案： 11. 不能. 理由:由计算得抛物线关系式为 $y = -x^2 + 4x$, 设 $MC = xdm$, 则 $BC = (4 - 2x)dm$, $CD = -x^2 + 4x$, 若矩形周长等于 $8dm$, 则 $4 - 2x - x^2 + 4x = 4$, $x^2 - 2x = 0$, $x_1 = 0$, $x_2 = 2$. $x_1$, $x_2$ 都不符合题意, 舍去. 故构不成满足条件的矩形.

12. (★★)如图 2.4 - 7，$ Rt\triangle ABO $ 的两直角边 $ OA $，$ OB $ 分别在 $ x $ 轴的负半轴和 $ y $ 轴的正半轴上，$ O $ 为坐标原点，$ A $，$ B $ 两点的坐标分别为 $ (-3,0) $，$ (0,4) $，抛物线 $ y = \frac{2}{3}x^{2}+bx + c $ 经过 $ B $ 点，且顶点在直线 $ x = \frac{5}{2} $ 上.
(1)求抛物线对应的函数关系式；
(2)若 $ \triangle DCE $ 是由 $ \triangle ABO $ 沿 $ x $ 轴向右平移得到的，当四边形 $ ABCD $ 是菱形时，试判断点 $ C $ 和点 $ D $ 是否在该抛物线上，并说明理由.

答案： 12.
(1)由题意, 可设所求抛物线对应的函数关
系式为 $y = \frac{2}{3}\left( x - \frac{5}{2} \right)^2 + m$, $\therefore$ $4 = \frac{2}{3}\left( -\frac{5}{2} \right)^2 + m$,
$\therefore$ $m = -\frac{1}{6}$, $\therefore$ 所求函数关系式为 $y = \frac{2}{3}\left( x - \frac{5}{2} \right)^2 - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}x^2 - \frac{10}{3}x + 4$.
(2)在 $Rt \triangle ABO$ 中, $OA = 3$, $OB = 4$, $\therefore$ $AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = 5$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形,
$\therefore$ $BC = CD = DA = AB = 5$, $\therefore$ $C$, $D$ 两点的坐标分
别是 $(5,4)$, $(2,0)$. 经检验, 点 $C$ 和点 $D$ 在所求抛
物线上.