《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

12. (★★)一幅长20cm、宽12cm的图案，如图2.3 - 6，其中有一横两竖三条彩条，横、竖彩条的宽度比为3:2。设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm²。
(1)求图案中三条彩条所占面积；
(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的$\frac{2}{5}$，求横、竖彩条的宽度。

答案： 12.
(1)根据题意，得$2x · 12 + (20 - 2x) · \frac{3}{2}x = 24x + (30x - 3x^{2}) = - 3x^{2} + 54x$.所以图案中三条彩条所占面积为$(- 3x^{2} + 54x)cm^{2}$.
(2)根据题意，得$- 3x^{2} + 54x = \frac{2}{5} × 20 × 12$.
整理，得$x^{2} - 18x + 32 = 0$.
解得$x_1 = 2,x_2 = 16$(不符合题意，舍去).
所以$\frac{3}{2}x = 3$.横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm.

13. (★★)某村工作队，为进一步带动群众增收致富，决定在该村山脚下围一块面积为600m²的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广。如图2.3 - 7，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一面开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）。求这个茶园的长和宽。

答案： 13. 设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为$(69 + 1 - 2x)m$，根据题意，得$x(69 + 1 - 2x) = 600$.
整理，得$x^{2} - 35x + 300 = 0$.
解得$x_1 = 15,x_2 = 20$.
当$x = 15$时，$70 - 2x = 40 ＞ 35$，不符合题意，舍去；
当$x = 20$时，$70 - 2x = 30$，符合题意.
答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m.

14. (★★)如图2.3 - 8，在△ABC中，AB = 6厘米，BC = 8厘米，∠B = 90°，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动。如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8平方厘米？

答案： 14. 设经过x秒，$\triangle PBQ$的面积等于8平方厘米，则$PB = (6 - x)$厘米，$BQ = 2x$厘米，
$\because \angle B = 90^{\circ}$，$\therefore S_{\triangle PBQ} = \frac{1}{2}PB · BQ$，
即$\frac{1}{2}(6 - x) · 2x = 8$，整理，得$(x - 3)^{2} = 1$，
解得$x_1 = 2,x_2 = 4$.
答：经过2秒或4秒，$\triangle PBQ$的面积等于8平方厘米.