《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

13. (★★★)如图 2.4 - 8，要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用 $ 50m $ 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它与墙平行的一边长为 $ xm $.
(1)要使鸡场面积最大，鸡场的一边长 $ x $ 应为多少米？
(2)如果中间有 $ n $($ n $ 是大于 $ 1 $ 的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的一边长 $ x $ 应为多少米？
(3)比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？

答案： 13.
(1)依题意, 得鸡场面积 $y = -\frac{1}{3}x^2 + \frac{50}{3}x$.
$\because$ $y = -\frac{1}{3}x^2 + \frac{50}{3}x = -\frac{1}{3}(x^2 - 50x) = -\frac{1}{3}(x - 25)^2 + \frac{625}{3}$,
$\therefore$ 当 $x = 25$ 时, $y_{最大} = \frac{625}{3}$, 即鸡场与墙平行
的一边长度为 $25m$ 时, 其面积最大为 $\frac{625}{3}m^2$.
(2)如果中间有 $n$ 道隔墙, 则隔墙长为 $\frac{50 - x}{n + 2}m$,
$\therefore$ $y = \frac{50 - x}{n + 2} · x = -\frac{1}{n + 2}x^2 + \frac{50}{n + 2}x = -\frac{1}{n + 2}(x^2 - 50x) = -\frac{1}{n + 2}(x - 25)^2 + \frac{625}{n + 2}$.
当 $x = 25$ 时, $y_{最大} = \frac{625}{n + 2}$, 即鸡场与墙平行的一
边长度为 $25m$ 时, 鸡场面积最大, 为 $\frac{625}{n + 2}m^2$.
(3)无论鸡场中有多少道篱笆隔墙, 要使鸡场
面积最大, 其与墙平行的一边的长度都是 $25m$.

14. (★★★)有一个例题：
有一个窗户形状如图 2.4 - 9①，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为 $ 6m $，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为 $ 0.35m $ 时，透光面积的最大值约为 $ 1.05m^{2} $.
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图 2.4 - 9②，材料总长仍为 $ 6m $. 利用图 2.4 - 9③，解答下列问题：
(1)若 $ AB $ 为 $ 1m $，求此时窗户的透光面积.
(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明.

答案： 14.
(1)由已知得 $AD = \frac{5}{4}$, $\therefore$ $S = \frac{5}{4}m^2$.
(2)设 $AB = xm$, 则 $AD = 3 - \frac{7}{4}x$, $\because$ $3 - \frac{7}{4}x ＞ 0$, $\therefore$ $0 ＜ x ＜ \frac{12}{7}$.
设窗户面积为 $S$, 由已知得 $S = AB · AD = x\left( 3 - \frac{7}{4}x \right) = -\frac{7}{4}x^2 + 3x = -\frac{7}{4}\left( x - \frac{6}{7} \right)^2 + \frac{9}{7}$, 当 $x = \frac{6}{7}$, 且 $x = \frac{6}{7}$ 在 $0 ＜ x ＜ \frac{12}{7}$ 的范围内时, $S_{最大值} = \frac{9}{7}m^2 ＞ 1.05m^2$, $\therefore$ 与课本中的例题比较, 现在窗户透光
面积的最大值变大.