《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

1. ($★$)已知关于$x$的方程$(2k+1)x^{2}-4kx+k-1=0$。则：
(1)$k$为何值时，此方程是一元一次方程？求出这个一元一次方程的根。
(2)$k$为何值时，此方程是一元二次方程？写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。

答案： 1.
(1)当$2k + 1 = 0$且$-4k \neq 0$时，
即$k = -\frac{1}{2}$，此方程是一元一次方程，
即$-4 × (-\frac{1}{2})x - \frac{1}{2} - 1 = 0$，
则$2x = \frac{3}{2}$，
$\therefore x = \frac{3}{4}$
(2)当$2k + 1 \neq 0$，即$k \neq -\frac{1}{2}$时，此方程是一元
二次方程.
二次项系数为$2k + 1$，一次项系数为$-4k$，常数项为$k - 1$.

2. ($★★$)已知方程$ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)$有根。
(1)若$a+b+c=0$，$x$为多少？
(2)若$a-b+c=0$，$x$为多少？
(3)若$4a+c=2b$，$x$为多少？
(4)若$c=0$，$x$为多少？

答案： 2.
(1)
∵ 方程$ax^{2}+bx+c=0(a \neq 0)$有根，而
当$x = 1$时，$a + b + c = 0$，且$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$，
$\therefore$ 若$a + b + c = 0$，则$x$为$1$或$\frac{c}{a}$.
(2)
∵ 方程$ax^{2}+bx+c=0(a \neq 0)$有根，而当
$x = -1$时，$a - b + c = 0$，且$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$，
$\therefore$ 若$a - b + c = 0$，则$x$为$-1$或$-\frac{c}{a}$.
(3)
∵ 方程$ax^{2}+bx+c=0(a \neq 0)$有根，而当
$x = -2$时，$4a - 2b + c = 0$，即$4a + c = 2b$，且$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$，
$\therefore$ 若$4a + c = 2b$，则$x$为$-2$或$-\frac{c}{2a}$
(4)若$c = 0$，则$ax^{2}+bx = 0$，$x(ax + b) = 0$，
$\therefore x_{1}=0$，$x_{2}=-\frac{b}{a}$，即$x$为$0$或$-\frac{b}{a}$

3. ($★$)用配方法解方程$x^{2}-2x-5=0$时，原方程应变形为【 】

A.$(x+1)^{2}=6$
B.$(x-1)^{2}=6$
C.$(x+2)^{2}=9$
D.$(x-2)^{2}=9$

答案： 3.B

4. ($★$)用配方法解一元二次方程$2x^{2}-3x-1=0$，配方正确的是【 】

A.$(x-\frac{3}{4})^{2}=\frac{17}{16}$
B.$(x-\frac{3}{4})^{2}=\frac{1}{2}$
C.$(x-\frac{3}{2})^{2}=\frac{13}{4}$
D.$(x-\frac{3}{2})^{2}=\frac{11}{4}$

答案： 4.A

5. ($★★$)用配方法求$2x^{2}-7x+2$的最小值。

答案： 5.原式$=2(x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16})+2-\frac{49}{8}$
$=2(x - \frac{7}{4})^{2}-\frac{33}{8}$.
$\because (x - \frac{7}{4})^{2} \geq 0$，
$\therefore$ 原式的最小值为$-\frac{33}{8}$.