《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

9. (★★)如图 2.1 - 1,矩形的长是$4cm$,宽是$3cm$,如果将长和宽都增加$xcm$,那么面积将增加$ycm^{2}$.
(1)求$y$与$x$之间的函数关系式;
(2)求当边长增加多少时,面积增加$8cm^{2}$.

答案： 9
(1)$y = x^{2}+7x$.
(2)当边长增加$1cm$时，面积增加$8cm^{2}$.

10. (★★)写出下列二次函数表达式中的二次项系数、一次项系数和常数项:
(1)$y = - x^{2}-2x + 3$;
(2)$y = 3(x - 1)^{2}+1$;
(3)$y = x^{2}-x$;
(4)$y = 2(x + 1)(x - 3)$.

答案： 10
(1)二次项系数为-1，一次项系数为-2，常数项为3.
(2)二次函数化为$y = 3x^{2}-6x + 4$，二次项系数为3，一次项系数为-6，常数项为4.
(3)二次项系数为1，一次项系数为-1，常数项为0.
(4)二次函数化为$y = 2x^{2}-4x - 6$，二次项系数为2，一次项系数为-4，常数项为-6.

11. (★)下列函数关系可以看成二次函数模型的是【 】

A.在一定距离内,汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
B.某地人口的年平均自然增长率为$1\%$,这样该地总人口数随年份变化的关系
C.矩形周长一定时,矩形的面积和其一边长之间的关系
D.圆的周长与半径之间的关系

答案： 11 C

12. (★)函数$y = (m - n)x^{2}+mx + n$是二次函数的条件是【 】

A.$m$,$n$为常数,且$m\neq 0$
B.$m$,$n$为常数,且$m\neq n$
C.$m$,$n$为常数,且$n\neq 0$
D.$m$,$n$可以为任何常数

答案： 12 B

13. (★★)已知长方体的高是$6cm$,底面是边长为$xcm$的正方形,它的表面积是$Scm^{2}$,体积是$Vcm^{3}$.
(1)分别写出$S$与$x$,$V$与$x$之间的函数表达式;
(2)在(1)中的两个函数,它们是关于$x$的二次函数吗?

答案： 13
(1)$\because$ 长方体的高
是$6cm$，底面是边长为$xcm$的正方形，它的表面积为$Scm^{2}$，体积为$Vcm^{3},\therefore S = 2x^{2}+4 × 6x = 2x^{2}+24x,V = 6x^{2}$.
(2)是关于$x$的二次函数.