《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

6. (★)图2.6 - 3为矩形时钟钟面示意图，时钟的中心在矩形对角线的交点上，矩形的宽为20厘米，钟面数字2在矩形的顶点处，则矩形的长为20√3厘米。

答案： 6.20√3

7. (★★)如图2.6 - 4，甲自西向东以4m/s的速度行进，乙由南向北以3m/s的速度行进，当乙到达点O时，甲已到达点O以东16m处。如果两人继续前进，求两人相距39m时各自的位置。

答案：
7.如图，设再经过ts两人相距39m，由题意，得(3t)²+(16 + 4t)²=39²，
整理，得25t²+128t - 1265 = 0.
∴t₁=5，t₂=-10.12(不符合题意，舍去).
当t = 5时，3t = 15，16 + 4t = 16 + 20 = 36.
答：当两人相距39m时，甲在点O以东36m处，乙在点O以北15m处.

8. (★★)如图2.6 - 5，在矩形ABCD中，AB = 6cm，AD = 2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A - B - C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达终点停止运动时，另一点也停止运动。是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为√5cm？若存在，请求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由。

答案： 8.设两动点经过ts时，点P与点Q之间的距离为$\sqrt{5}$cm.
①当0＜t≤3时，有(6 - 2t - t)²+2²=($\sqrt{5}$)²，整理，得9t²-36t + 35 = 0，解得t₁=$\frac{7}{3}$，t₂=$\frac{5}{3}$.
②当3＜t≤4时，有(8 - 2t)²+t²=($\sqrt{5}$)²，
整理，得5t²-32t + 59 = 0，此时Δ=(-32)²-4×5×59=-156＜0，此方程无解.
综上所述，存在某一时刻，即运动时间为$\frac{7}{3}$s或$\frac{5}{3}$s时，使得点P与点Q之间的距离为$\sqrt{5}$cm.

9. (★★)如图2.6 - 6①，要设计一幅宽20cm、长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2:3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
分析：由横、竖彩条的宽度比为2:3，可设每个横彩条的宽为2x，则每个竖彩条的宽为3x。为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图2.6 - 6②的情况，得到矩形ABCD。
(1) 结合以上分析完成填空：如图2.6 - 6②，用含x的代数式表示：
AB = (20 - 6x)cm，AD = (30 - 4x)cm。
(2) 列出方程并完成本题解答。

答案： 9.
(1)(20 - 6x) (30 - 4x)
(2)根据题意，得
24x²-260x + 600=(1 - $\frac{1}{3}$)×20×30.
整理，得6x²-65x + 50 = 0.
解方程，得x₁=$\frac{5}{6}$，x₂=10(不符合题意，舍去).
则2x = $\frac{5}{3}$，3x = $\frac{5}{2}$
答：每个横、竖彩条的宽度分别为$\frac{5}{3}$cm、$\frac{5}{2}$cm.