《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

13. (★★)如图4.4-42，在△ABC中，AB=AC=2，BC=√5 - 1，∠A=36°，∠1 = ∠2，试说明点D是线段AC的黄金分割点。

答案： 13.在△ABC中，
∵AB = AC，∠A = 36°，
∴∠ABC = ∠C = 72°，
∴∠1 = ∠2 = 36°，
∴∠1 = ∠A，
∴AD = BD，
∴∠BDC = ∠1 +
∠A = 72°，
∴∠BDC = ∠C，
∴BC = BD = AD =
$\sqrt{5}-1$，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴点
D是线段AC的黄金分割点.

14. (★★)图4.4-43所示的是一个杯子，厂方为了美化杯子，决定在离杯子底端较近的表面刻上一点装饰花纹，当装饰花纹刻在黄金分割点的位置时给人的视觉最美。请你确定刻花纹的位置。

答案：
14.根据题意，在线段AB
的黄金分割点E处，且AE ＞
BE，刻装饰花纹给人视觉最美.如图.①过点B作
BC⊥AB，使BC=$\frac{1}{2}$AB.②连接AC，在AC上截取
CD = CB.③在AB上截取AE = AD.则点E即为刻
花纹的位置.

15. (★★)在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果。如图4.4-44，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE² = AE·AB。已知AB为2米，则线段BE的长为多少米？

答案： 15.设BE = x，则AE = (2 - x).
∵BE² = AE·
AB，AB = 2，
∴x² = 2(2 - x)，即x² + 2x - 4 = 0，解得
x₁ = -1 + $\sqrt{5}$，x₂ = -1 - $\sqrt{5}$(舍去)，
∴线段BE的长
为(-1 + $\sqrt{5}$)米.