《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

17. (★★★) 在△ABC 中，CA = CB，∠ACB = α. 点 P 是平面内不与点 A，C 重合的任意一点，连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 α 得到线段 DP，连接 AD，BD，CP.
(1) 观察猜想：如图 4.4 - 31①，当 α = 60°时，BD/CP 的值是1，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数是60°.
(2) 类比探究：如图 4.4 - 31②，当 α = 90°时，请写出 BD/CP 的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数，并就图 4.4 - 31②的情形说明理由.

答案： 17.
(1)1 60°
(2)$\frac{BD}{CP}=\sqrt{2}$，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°。
理由如下：
$\because$ ∠ACB=90°，CA=CB，$\therefore$ ∠CAB=45°，$\frac{AB}{AC}=\sqrt{2}$。
同理可得∠PAD=45°，$\frac{AD}{AP}=\sqrt{2}$。
$\therefore$ $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AP}$，∠CAB=∠PAD，$\therefore$ ∠CAB+∠DAC=∠PAD+∠DAC，即∠DAB=∠PAC，
$\therefore$ △DAB∽△PAC，$\therefore$ $\frac{BD}{CP}=\frac{AB}{AC}=\sqrt{2}$，∠DBA=∠PCA。
设BD交CP于点G，BD交CA于点H。
$\because$ ∠BHA=∠CHG，$\therefore$ ∠CGH=∠BAH=45°。