《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

11. (★★)一张等腰三角形纸片，底边长$15cm$，底边上的高长$22.5cm$. 现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为$3cm$的矩形纸条(如图 4.7 - 4). 已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第6张.

答案：
11. 6 【提示】如图，设第x张为正方形，

则DE = 3,AM = 22.5 - 3x.
∵ △ADE∼△ABC,
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{AM}{AN}$,即$\frac{3}{15}=\frac{22.5 - 3x}{22.5}$,解得x = 6.

12. (★★)如图 4.7 - 5，光源$P$在横杆$AB$的正上方，$AB$在灯光下的影子为$CD$，$AB// CD$，$AB = 2m$，$CD = 6m$，点$P$到$CD$的距离是$4m$，则$AB$与$CD$间的距离是$\frac{8}{3}$m.

答案： 12. $\frac{8}{3}$

13. (★★)如图 4.7 - 6，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$D$是$AC$边上的一点，$DE$垂直平分$AB$，垂足为$E$. 若$AC = 8$，$BC = 6$，则线段$DE$的长度为$\frac{15}{4}$.

答案： 13. $\frac{15}{4}$

14. (★★)一块直角三角形木板的一条直角边$AB$为$1.5m$，面积为$1.5m^{2}$，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面. 小明打算按图 4.7 - 7①进行加工，小华准备按图 4.7 - 7②进行加工，他们谁的加工方案符合要求？

答案： 14. 对于小明的方案：设正方形BFED的边长为xm,则$\frac{1}{2}×BC×1.5 = 1.5$,
∴ BC = 2m. 由DE//AB,得 ∠CDE = ∠CBA, ∠CED = ∠CAB,
∴ △CDE∼△CBA,
∴ $\frac{CD}{CB}=\frac{DE}{BA},\frac{2 - x}{2}=\frac{x}{1.5},x = \frac{6}{7}$. 对于小华的方案：设正方形的边长为ym,AC上的高BH交DE于M,则$\frac{1}{2}×BC×1.5 = 1.5$,
∴ BC = 2m. 由勾股定理，得$AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$,
∴ AC = $\sqrt{1.5^{2} + 2^{2}} = 2.5$(m). 由$\frac{1}{2}AC·BH = \frac{1}{2}AB·BC$,得BH = $\frac{AB·BC}{AC}=\frac{1.5×2}{2.5}=\frac{6}{5}$(m).
∵ DE//AC,
∴ ∠BDE = ∠BAC, ∠BED = ∠BCA,
∴ △BDE∼△BAC,
∴ $\frac{BM}{BH}=\frac{DE}{AC}$,
∴ $\frac{1.2 - y}{1.2}=\frac{y}{2.5}$,
∴ y = $\frac{30}{37}$.
∵ x ＞ y,
∴ $x^{2} ＞ y^{2}$.
所以小明的加工方案符合要求.

1. (★)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

答案： 1.相似比 相似比的平方

2. (★)若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1:2，则△ABC与△DEF的周长比为1:2。

答案： 2. 1:2

3. （★）如图4.7-8，已知△ADE∽△ABC，其面积之比为1:4，则△ADE与△ABC的相似比为【】

A.1:2
B.1:4
C.2:1
D.4:1

答案： 3. A

4. (★)已知△ABC与△DEF相似，且对应中线的比为2:3，则△ABC与△DEF的周长比为2:3，面积比为4:9。

答案： 4. 2:3 4:9

5. (★)两个相似三角形的最短边分别为10cm和25cm，它们的周长之差为60cm，则这两个三角形的周长分别是40cm和100cm。

答案： 5. 40cm和100cm