《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

15. (★)一个多边形的边长分别为 $2$，$3$，$4$，$5$，$6$，另一个多边形和这个多边形相似，其最短边长为 $6$，则最长边长为18.

答案： 15 18

16. (★)请分别根据下列已知条件，写出各组相似三角形的对应边的比例式：
(1)如图 4.3 - 6①，$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，则\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}；
(2)如图 4.3 - 6②，$\triangle OAB\sim\triangle ODE$，则\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OE}=\frac{AB}{DE}；
(3)如图 4.3 - 6③，$\triangle ABC\sim\triangle ADE$，则\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}.

答案： $16 (1)\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}(2)\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OE}=\frac{AB}{DE}(3)\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$

17. (★★)把一个矩形剪去一个正方形，若剩余的矩形和原矩形相似，则原矩形的长与宽的比为$(\sqrt{5}+1):2$.

答案： $17 (\sqrt{5}+1):2$

18. (★★)已知菱形 $A_1B_1C_1D_1$ 的边长为 $2$，$\angle A_1B_1C_1 = 60°$，对角线 $A_1C_1$，$B_1D_1$ 相交于点 $O$，以点 $O$ 为坐标原点，分别以 $OA_1$，$OB_1$ 所在直线为 $x$ 轴、$y$ 轴，建立如图 4.3 - 7 所示的直角坐标系. 以 $B_1D_1$ 为对角线作菱形 $B_1C_2D_1A_2$，使它与菱形 $A_1B_1C_1D_1$ 相似，再以 $A_2C_2$ 为对角线作菱形 $A_2B_2C_2D_2$，使它与菱形 $B_1C_2D_1A_2$ 相似，再以 $B_2D_2$ 为对角线作菱形 $B_2C_3D_2A_3$，使它与菱形 $A_2B_2C_2D_2$ 相似……按此规律继续作下去，在 $x$ 轴的正半轴上得到点 $A_1$，$A_2$，$A_3$，…，$A_n$，则点 $A_n$ 的坐标为(3^{n-1},0).

答案： $18 (3^{n-1},0)$

19. （★★）（2023·威海）如图 4.3 - 8，四边形 $ABCD$ 是一张矩形纸片. 将其按如图所示的方式折叠：使 $DA$ 边落在 $DC$ 边上，点 $A$ 落在点 $H$ 处，折痕为 $DE$；使 $CB$ 边落在 $CD$ 边上，点 $B$ 落在点 $G$ 处，折痕为 $CF$. 若矩形 $HEFG$ 与原矩形 $ABCD$ 相似，$AD = 1$，则 $CD$ 的长为【 】

A.$\sqrt{2}-1$
B.$\sqrt{5}-1$
C.$\sqrt{2}+1$
D.$\sqrt{5}+1$

答案： 19 C