《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

5. （★★）在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$。
（1）$\angle A+\angle B=$____，$AC^{2}+BC^{2}=$____；
(2)由$\sin A=\frac{BC}{AB}$，可得$BC=$，$AB=$；
(3)由$\cos A=\frac{AC}{AB}$，可得$AC=$，$AB=$；
(4)由$\tan A=\frac{BC}{AC}$，可得$BC=$，$AC=$。

答案： 5.
(1) $90°$ $AB^2$
(2) $AB · \sin A$ $\frac{BC}{\sin A}$
(3) $AB · \cos A$ $\frac{AC}{\cos A}$
(4) $AC · \tan A$ $\frac{BC}{\tan A}$

6. （★）在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$BC = a$，$AC = b$，$AB = c$，下列式子不成立的是【 】

A.$b^{2}=c^{2}-a^{2}$
B.$\sin A=\frac{a}{c}$
C.$a = b\tan A$
D.$c = a\cos B$

答案： 6. D

7. （★）在$Rt\triangle ABC$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$\angle ACB = 56^{\circ}$，$AC = 10$，则$AB$的长是【 】

A.$10\sin 56^{\circ}$
B.$10\cos 56^{\circ}$
C.$10\tan 56^{\circ}$
D.$\frac{10}{\tan 56^{\circ}}$

答案： 7. C

8. (★)在$\triangle ABC$中，$\angle A = 30^{\circ}$，$\tan B=\frac{1}{3}$，$BC=\sqrt{10}$，则$AB$的长为$3 + \sqrt{3}$。

答案： 8. $3 + \sqrt{3}$

9. (★)某人沿着有一定坡度的坡面从坡脚前进了$10$米，此时他与水平地面的垂直距离为$2\sqrt{5}$米，则这个坡面的坡度为1:2。

答案： 9. 1:2

10. （★★）在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，根据下列条件解直角三角形：
（1）$\angle A = 30^{\circ}$，$BC = 2$；
（2）$AB = 10$，$AC = 5\sqrt{3}$。

答案： 10.
(1)
∵ $\angle C = 90°$，
∴ $\angle A + \angle B = 90°$.
∵ $\angle A = 30°$，
∴ $\angle B = 60°$.
∵ $BC = 2$，
∴ $AB = 4$.
∵ $AC^2 + BC^2 = AB^2$，
∴ $AC^2 = AB^2 - BC^2$，
∴ $AC = 2\sqrt{3}$.
综上，$\angle B = 60°$，$AB = 4$，$AC = 2\sqrt{3}$.
(2)
∵ $\angle C = 90°$，
∴ $AB^2 = AC^2 + BC^2$，
∴ $BC^2 = AB^2 - AC^2$.
∵ $AB = 10$，$AC = 5\sqrt{3}$，
∴ $BC = 5$.
∵ $\sin B = \frac{AC}{AB}$，
∴ $\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ $\angle B = 60°$.
∵ $\angle A + \angle B = 90°$，
∴ $\angle A = 30°$.
综上，$BC = 5$，$\angle A = 30°$，$\angle B = 60°$.

11. （★）如果$\angle\alpha$是锐角，且$\cos\alpha=\frac{4}{5}$，那么$\sin\alpha$的值是【 】

A.$\frac{9}{25}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{16}{25}$

答案： 11. C

12. （★）在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\tan A = 3$，$AC = 10$，则$S_{\triangle ABC}$等于【 】

A.$3$
B.$300$
C.$\frac{50}{3}$
D.$150$

答案： 12. D

13. (★★)已知直角三角形的两直角边的比为$3:7$，则最小角的正弦值为$\frac{3\sqrt{58}}{58}$。

答案： 13. $\frac{3\sqrt{58}}{58}$

14. (★★)在$\triangle ABC$中，$AB = 12\sqrt{2}$，$AC = 13$，$\cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$BC$边的长为7 或 17。

答案： 14. 7 或 17

15. （★★）某区域平面示意图如图$1.4 - 1$所示，点$O$在河的一侧，$AC$和$BC$表示两条互相垂直的公路。甲勘测员在$A$处测得点$O$位于北偏东$45^{\circ}$，乙勘测员在$B$处测得点$O$位于南偏西$73.7^{\circ}$，且$AC = 840m$，$BC = 500m$。请求出点$O$到$BC$的距离。（参考数据：$\sin 73.7^{\circ}\approx\frac{24}{25}$，$\cos 73.7^{\circ}\approx\frac{7}{25}$，$\tan 73.7^{\circ}\approx\frac{24}{7}$）

答案：
15. 如下图，过点 $O$ 分别作 $OM \perp BC$ 于点 $M$，$ON \perp AC$ 于点 $N$，则四边形 $ONCM$ 为矩形.

∴ $ON = MC$，$OM = NC$.
设 $OM = xm$，则 $NC = xm$，$AN = (840 - x)m$.
在 $Rt \triangle ANO$ 中，$\angle OAN = 45°$，
∴ $ON = AN = (840 - x)m$，
∴ $MC = ON = (840 - x)m$.
在 $Rt \triangle BOM$ 中，$BM = \frac{OM}{\tan \angle OBM} = \frac{7}{24}x (m)$，
∴ $840 - x + \frac{7}{24}x = 500$，
解得 $x = 480$.
即点 $O$ 到 $BC$ 的距离为 $480m$.