《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

14. (★★)如图1.1-35，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由点A开始按A→B→C→D→E→F→C→G→A→…的顺序沿菱形的边循环爬动，行走2029厘米后停下，则这只蚂蚁停在F点。

答案： 14. F

15. (★★)如图1.1-36，在四边形ABCD中，AD//BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N。
(1)求证：四边形BNDM是菱形；
(2)若BD=24，MN=10，求菱形BNDM的周长。

答案： 15.
(1)
∵AD//BC,
∴∠DMO=∠BNO.
∵MN是对角线BD的垂直平分线,
∴OB=OD,MN⊥BD.
在△MOD和△NOB中,$\left\{\begin{array}{l}∠DMO=∠BNO,\\∠MOD=∠NOB,\\OD=OB,\end{array}\right.$
∴△MOD≌△NOB(AAS),
∴OM=ON.
又
∵OB=OD,
∴四边形BNDM是平行四边形.
∵MN⊥BD,
∴四边形BNDM是菱形.
(2)
∵四边形BNDM是菱形,BD=24,MN=10,
∴BM=BN=DM=DN,OB=$\frac{1}{2}$BD=12,OM=$\frac{1}{2}$MN=5.
在Rt△BOM中,由勾股定理,得BM=$\sqrt{OM^{2}+OB^{2}}$=$\sqrt{5^{2}+12^{2}}$=13,
∴菱形BNDM的周长=4BM=4×13=52.

16. (★★)如图1.1-37，已知在□ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC。
(1)求证：BE=DG。
(2)若∠B=60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论。

答案： 16.
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD.
∵AE是BC边上的高,且CG是由AE沿BC方向平移而成,
∴AE⊥BC,CG⊥AD,
∴∠AEB=∠CGD=90°.
∵AE=CG,
∴Rt△ABE≌Rt△CDG,
∴BE=DG.
(2)当BC=$\frac{3}{2}$AB时,四边形ABFG是菱形.
证明如下:
∵AB//GF,AG//BF,
∴四边形ABFG是平行四边形.
在Rt△ABE中,∠B=60°,
∴∠BAE=30°,
∴BE=$\frac{1}{2}$AB.
∵BE=CF,BC=$\frac{3}{2}$AB,
∴EF=$\frac{1}{2}$AB,
∴AB=BF,
∴四边形ABFG是菱形.