《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

14. (★★)如图 6.2-11，正比例函数 $ y_{1} = k_{1}x $ 与反比例函数 $ y_{2} = \frac{k_{2}}{x} $ 的图象相交于 $ A $，$ B $ 两点，其中点 $ A $ 的横坐标为 1，当 $ y_{1} ＜ y_{2} $ 时，$ x $ 的取值范围是【 】

A.$ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 1 $
B.$ -1 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 1 $
C.$ -1 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 1 $
D.$ x ＜ -1 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 1 $

答案： 14. D

15. (★★)如图 6.2-12，已知点 $ A $ 在双曲线 $ y = \frac{6}{x} $ 上，且 $ OA = 4 $，过 $ A $ 作 $ AC \perp x $ 轴于点 $ C $，$ OA $ 的垂直平分线交 $ OC $ 于点 $ B $。

(1) $ \triangle AOC $ 的面积为3；
(2) $ \triangle ABC $ 的周长为$2\sqrt{7}$。

答案： 15.
(1)$3$
(2)$2\sqrt{7}$

16. (★★)(2022·随州)如图 6.2-13，在平面直角坐标系中，直线 $ y = x + 1 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A $，$ B $，与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象在第一象限交于点 $ C $，若 $ AB = BC $，则 $ k $ 的值为2。

答案：
16. $2$【提示】如图，过点$C$作$CH\perp x$轴，垂足为$H$.

$\because$直线$y = x + 1$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$，$B$,$\therefore$将$y = 0$代入$y = x + 1$，解得$x = -1$;将$x = 0$代入$y = x + 1$，解得$y = 1$.$\therefore$点$A$的坐标为$(-1,0)$，点$B$的坐标为$(0,1)$,$\therefore OA = 1$,$OB = 1$.
$\because\angle AOB = \angle AHC = 90°$，$\angle BAO = \angle CAH$,
$\therefore\triangle OAB\sim\triangle HAC$,$\therefore\frac{AO}{AH}=\frac{OB}{CH}=\frac{AB}{AC}$$\because$$OA = 1$,$OB = 1$,$AB = BC$,$\therefore\frac{1}{AH}=\frac{1}{CH}=\frac{1}{2}$,$\therefore AH = 2$,$CH = 2$,$\therefore OH = 1$.$\because$点$C$在第一象限，$\therefore$点$C$的坐标为$(1,2)$.
$\because$点$C$在$y=\frac{k}{x}$上，$\therefore k = 1×2 = 2$.

17. (★★)(2022·苏州)如图 6.2-14，一次函数 $ y = kx + 2(k \neq 0) $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{m}{x}(m \neq 0, x ＞ 0) $ 的图象交于点 $ A(2, n) $，与 $ y $ 轴交于点 $ B $，与 $ x $ 轴交于点 $ C(-4, 0) $。
(1)求 $ k $ 与 $ m $ 的值；
(2) $ P(a, 0) $ 为 $ x $ 轴上的一动点，当 $ \triangle APB $ 的面积为 $ \frac{7}{2} $ 时，求 $ a $ 的值。

答案： 17.
(1)把$C(-4,0)$代入$y = kx + 2$，得$-4k + 2 = 0$，解得$k=\frac{1}{2}$,$\therefore y=\frac{1}{2}x + 2$.
把$A(2,n)$代入$y=\frac{1}{2}x + 2$，得$\frac{1}{2}×2 + 2 = n$，解得$n = 3$,$\therefore$点$A$的坐标为$(2,3)$.
把$A(2,3)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$3=\frac{m}{2}$，解得$m = 6$,$\therefore k=\frac{1}{2}$,$m = 6$.
(2)对于$y=\frac{1}{2}x + 2$，当$x = 0$时，$y = 2$,$\therefore$点$B$的坐标为$(0,2)$.
$\because P(a,0)$为$x$轴上的一动点，$\therefore PC = |a + 4|$,
$\therefore S_{\triangle CBP}=\frac{1}{2}· PC· OB=\frac{1}{2}×|a + 4|×2 = |a + 4|$,$S_{\triangle CAP}=\frac{1}{2}· PC· y_A=\frac{1}{2}×|a + 4|×3=\frac{3}{2}|a + 4|$.
$\because S_{\triangle CAP}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle CBP}$,$\therefore\frac{3}{2}|a + 4|=\frac{7}{2}+|a + 4|$,$\therefore a = 3$或$a = -11$,$\therefore a$的值为$3$或$-11$.