《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

5. （★）（2022·聊城）要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是【 】

A.测量两条对角线是否相等
B.度量两个角是否是 $90^{\circ}$
C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D.测量两组对边是否分别相等

答案： 5. C

6. （★★）下列条件不能判定四边形 $ABCD$ 为矩形的是【 】

A.$AB// CD$，$AB = CD$，$AC = BD$
B.$\angle A = \angle B = \angle D = 90^{\circ}$
C.$AB = BC$，$AD = CD$，且 $\angle C = 90^{\circ}$
D.$AB = CD$，$AD = BC$，且 $\angle A = 90^{\circ}$

答案： 6. C

7. （★★）顺次连接四边形 $ABCD$ 的各边中点得到四边形 $EFGH$，要使四边形 $EFGH$ 是矩形，可以添加的一个条件是【 】

A.$AD// BC$
B.$AC = BD$
C.$AC\perp BD$
D.$AD = AB$

答案： 7. C

8. （★★）如图 1.2 - 15，$E$ 是四边形 $ABCD$ 外一点，已知 $EB = EC$，$EA = ED$，$AD = BC$，$\angle AEB = \angle DEC$，求证：四边形 $ABCD$ 是矩形。

答案： 8.
∵ EB=EC,EA=ED,∠AEB=∠DEC,
∴ △EAB≌△EDC(SAS).
∴ AB=DC,∠ABE=∠DCE.
∵ AD=BC,
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∴ AB//CD.
∵ EB=EC,
∴ ∠EBC=∠ECB.
∴ ∠ABE+∠EBC=∠DCE+∠ECB,即∠ABC=∠DCB.
∵ AB//CD,
∴ ∠ABC+∠DCB =180°.
∴ ∠ABC=90°.
∴ 四边形ABCD是矩形.

9. （★★）如图 1.2 - 16，将 $□ ABCD$ 的边 $DC$ 延长到点 $E$，使 $CE = DC$，连接 $AE$，交 $BC$ 于点 $F$，连接 $AC$，$BE$，若 $\angle AFC = 2\angle D$，求证：四边形 $ABEC$ 是矩形。

答案： 9.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD,AB=CD,∠ABC=∠D.
∵ EC=DC,
∴ AB=EC.又
∵ AB//CD,即AB//EC,
∴ 四边形ABEC是平行四边形.
∴ AF=EF,BF=CF.又
∵ ∠AFC=2∠D,
∴ ∠AFC=2∠ABC.
∵ ∠AFC=∠ABC+∠BAF,
∴ ∠ABC=∠BAF.
∴ FA=FB.
∴ FA=FE=FB=FC,
∴ AE=BC.
∴ 四边形ABEC是矩形.