《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

14. (★★★)如图6.2-27，已知双曲线$y=\frac{k}{x}$经过点$D(6,1)$，点$C$是双曲线在第三象限上的动点，过$C$作$CA\perp x$轴，过$D$作$DB\perp y$轴，垂足分别为$A$，$B$，连接$AB$，$BC$.
(1)求$k$的值；
(2)若$\triangle BCD$的面积为12，求直线$CD$的解析式；
(3)判断$AB$与$CD$的位置关系，并说明理由.

答案： 14.
(1)
∵双曲线$y=\frac{k}{x}$经过点D(6,1)，
∴$\frac{k}{6}=1，$解得k=6.
(2)设点C到BD的距离为h.
∵点D的坐标为(6,1)，DB⊥y轴，
∴BD=6，
∴$S△BCD=\frac{1}{2}×6·h=12，$解得h=4.
∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，
∴点C的纵坐标为1 - 4=-3，
∴$\frac{6}{x}=-3，$解得x=-2，
∴点C的坐标为(-2,-3).
设直线CD的解析式为y=kx+b，则
$\begin{cases}-2k+b=-3\\6k+b=1\end{cases}，$解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2}\\b=-2\end{cases}，$
∴直线CD的解析式为$y=\frac{1}{2}x - 2.$
(3)AB//CD.理由如下：
∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，点C的坐标为(-2,-3)，点D的坐标为(6,1)，
∴点A，B的坐标分别为A(-2,0)，B(0,1).
设直线AB的解析式为y=mx+n，则
$\begin{cases}-2m+n=0\\n=1\end{cases}，$解得$\begin{cases}m=\frac{1}{2}\\n=1\end{cases}，$
∴直线AB的解析式为$y=\frac{1}{2}x+1.$
∵AB和CD的解析式中k都等于$\frac{1}{2}，$
∴AB与CD的位置关系是AB//CD.

15. (★★)(2024·河南)如图6.2-28，矩形$ABCD$的四个顶点都在格点(网格线的交点)上，对角线$AC$，$BD$相交于点$E$，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点$A$.
(1)求这个反比例函数的表达式.
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点$A$的三个格点，再画出反比例函数的图象.
(3)将矩形$ABCD$向左平移，当点$E$落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为\frac{9}{2}.

答案：
15.
(1)
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点A(3,2)，
∴$2=\frac{k}{3}，$
∴k=6，
∴这个反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}.$
(2)如图，

$(3)\frac{9}{2} 【$提示】由图知E(6,4)，令$\frac{6}{x}=4，$得$x=\frac{3}{2}$
∵$6 - \frac{3}{2}=\frac{9}{2}，$
∴矩形ABCD向左平移$\frac{9}{2}$个单位长度时，点E落在反比例函数图象上.

16. (★★★)(2022·玉林)如图6.2-29，点$A$在双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$上，点$B$在直线$l:y = mx - 2b(m＞0,b＞0)$上，$A$与$B$关于$x$轴对称，直线$l$与$y$轴交于点$C$，当四边形$AOCB$是菱形时，有以下结论：①$A(b,\sqrt{3}b)$；②当$b = 2$时，$k = 4\sqrt{3}$；③$m=\frac{\sqrt{3}}{3}$；④$S_{四边形AOCB}=2b^2$. 则所有正确结论的序号是②③.

答案： 16.②③ 【提示】如图，记AB与x轴交于点D.对于①：y=mx - 2b中，当x=0时，y=-2b，
∴点C的坐标为(0,-2b)，
∴OC=2b.
∵四边形AOCB是菱形，
∴AB=OC=OA=2b.
∵点A与B关于x轴对称，
∴AB⊥OD，AD=BD=b，
∴$OD=\sqrt{(2b)² - b²}=\sqrt{3}b，$
∴点A的坐标为$(\sqrt{3}b,b).$故①错误.对于②：当b=2时，点A的坐标为$(2\sqrt{3},2)，$
∴$k=2\sqrt{3}×2=4\sqrt{3}，$故②正确.对于③：
∵点A的坐标为$(\sqrt{3}b,b)，$点A与B关于x轴对称，
∴点B的坐标为$(\sqrt{3}b,-b).$
∵点B在直线y=mx - 2b上，
∴$\sqrt{3}bm - 2b=-b，$
∴$m=\frac{\sqrt{3}}{3}.$故③正确.对于④：菱形AOCB的面积$=AB·OD=2b·\sqrt{3}b=2\sqrt{3}b²，$故④不正确.所以所有正确结论的序号是②③.